Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8572907

Dla jakich liczb całkowitych a liczba a3−-2a2+3- a2−2a jest także liczbą całkowitą?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Postępujemy tak jakby to był zwykły ułamek, najpierw robimy z niego ułamek właściwy, czyli dzielimy licznik przez mianownik z resztą. My to zrobimy grupując wyrazy.

a3 − 2a2 + 3 = a(a2 − 2a) + 3.

Tak więc podane wyrażenie jest równe

a(a2-−-2a)-+-3- ---3---- a2 − 2a = a+ a2 − 2a.

Liczba ta będzie całkowita tylko wtedy, gdy a2 − 2a = a(a − 2) jest dzielnikiem 3, czyli jest równe -3,-1,1 lub 3. Można oczywiście rozwiązać 4 równania kwadratowe, ale prościej jest skorzystać z faktu, że a też jest całkowite. W szczególności liczba (a − 2)a jest iloczynem dwóch liczb całkowitych odległych o 2, a więc na pewno nie jest równa 1 (bo ma przynajmniej jeden dzielnik różny od 1). Jeżeli (a− 2 )a = − 3 , to jedna liczba musiałaby być dodatnia a jedna ujemna i ponieważ są odległe o 2, to nie da się ich tak dobrać.

Jeżeli (a− 2)a = − 1 to a = 1 .

Pozostaje przypadek (a − 2)a = 3 . Mamy wtedy dwa rozwiązania a = − 1 i a = 3 .  
Odpowiedź: a ∈ {− 1,1 ,3 }

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!