Zadanie nr 5786396
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej 
i dla każdej liczby całkowitej 
liczba 
jest podzielna przez 10.
Rozwiązanie
Sposób I
Zauważmy, że
Widać teraz, że liczba ta jest parzysta, bo albo jedna z liczb 
lub 
jest parzysta, albo 
jest parzyste.
Zastanówmy się nad podzielnością przez 5. Jeżeli jedna z liczb 
lub 
dzieli się przez 5, to podzielny przez 5 jest też iloczyn 
. Jeżeli liczby 
i 
dają takie same reszty z dzielenia przez 5, to 
dzieli się przez 5. Podobnie, jeżeli reszty z dzielenia 
i 
przez 5 to 1 i 4 lub 2 i 3 (w jakiejkolwiek kolejności), to przez 5 dzieli się 
.
Wciąż zostały do sprawdzenia 4 przypadki reszt: 1 i 2, 1 i 3, 2 i 4, 3 i 4. Jeżeli oznaczymy 
i 
, gdzie 
i 
są jedną z czterech wymienionych par reszt, to mamy kolejno
W każdej z tych sytuacji suma 
dzieli się przez 5. Zatem rzeczywiście liczba 
zawsze dzieli się przez 
.
Sposób II
Parzystość liczby
uzasadniamy tak samo jak w poprzednim sposobie. Tak samo też uzasadniamy podzielność przez 5, jeżeli jedna z liczb 
lub 
dzieli się przez 5. Zauważmy ponadto, że
To oznacza, że kwadrat liczby całkowitej, która nie jest podzielna przez 5 zawsze daje resztę 1 lub 4 przy dzieleniu przez 5. W szczególności, jeżeli 
i 
nie dzielą się przez 5, to liczba
zawsze dzieli się przez 5 – tak jest, bo albo 
i 
dają te same reszty z dzielenia przez 5, albo dają reszty 1 i 4 (w pewnej kolejności). Zatem rzeczywiście liczba
zawsze dzieli się przez 10.
