/Szkoła średnia/Liczby/Liczby całkowite/Podzielność

Zadanie nr 5938836

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeśli a jest liczbą nieparzystą, to liczba 3 a − a jest podzielna przez 12.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

3 2 a − a = a (a − 1 ) = a(a− 1)(a+ 1) = (a− 1)a(a + 1).

Ponieważ jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, to liczba ta jest podzielna przez 3 (bo jedna z liczb: n − 1 , n lub n + 1 dzieli się przez 3).

Ponieważ 12 = 3⋅4 , wystarczy jeszcze udowodnić podzielność przez 4. Wiemy, że liczba a jest nieparzysta, więc możemy ją zapisać w postaci a = 2k+ 1 . Wtedy

a3− a = a(a2− 1 ) = a(a− 1 )(a+ 1) = (2k + 1) ⋅2k⋅(2k + 2) = 4(2k + 1)k(k + 1).

Liczba ta jest oczywiście podzielna przez 4.

Wersja PDF