Zadanie nr 9261993

Rozkładamy podane wyrażenie

Jeżeli liczba daje przy dzieleniu przez 7 resztę 1, 0 lub 6, to jedna z liczb w pierwszych trzech nawiasach dzieli się przez 7. Pozostało zająć się sytuacją, gdy liczba przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, 3, 4 lub 5. Zauważmy, że jeżeli to

Łatwo teraz sprawdzić, że jeżeli lub to pierwsze wyrażenie dzieli się przez 7, a jeżeli lub to drugie wyrażenie jest podzielne przez 7.

Postępujemy jak poprzednio, ale używamy odrobinę sprytniejszego rozkładu.

Zauważmy teraz, że to 7 kolejnych liczb całkowitych, więc jedna z nich na pewno dzieli przez 7. To oznacza, że wyrażenie w jednym z powyższych nawiasów jest liczbą podzielną przez 7.

Jest jasne, że przez 7 dzieli się liczba

(bo wśród 7 kolejnych liczb całkowitych zawsze jedna dzieli się przez 7). Wymnóżmy ten iloczyn i sprawdźmy, czym różni się on od . Liczymy

Zatem

i widać, że rzeczywiście zawsze dzieli się przez 7.

Zadanie możemy też rozwiązać indukcyjnie, ale będziemy potrzebować wzoru dwumianowego Newtona dla

Zakładamy indukcyjnie, że dzieli się przez 7 i liczymy

Wyrażenie w nawiasie dzieli się przez 7 z założenia indukcyjnego, reszta też, więc wykazaliśmy tezę dla .

Zadanie jest szczególnym przypadkiem tzw. małego twierdzenia Fermata: jeżeli jest liczbą pierwszą, to dzieli się przez .