/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 2533835

W okrąg o równaniu  2 2 (x− 5) + (y+ 3) = 50 wpisano trójkąt ostrokątny ABC . Bok AB tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu x − 3y − 4 = 0 . Wysokość CD tego trójkąta dzieli bok AB tak, że |AD | = 3⋅|DB | . Oblicz pole trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dany okrąg to okrąg o środku S = (5,− 3) i promieniu  √ --- √ -- r = 5 0 = 5 2 . Szkicujemy opisaną sytuację.


ZINFO-FIGURE


Jeżeli w miarę dokładnie wykonamy rysunek, to powinno być widać, że środek S okręgu znajduje się poniżej danej prostej AB . W trójkącie ostrokątnym środek okręgu opisanego znajduje się wewnątrz trójkąta, więc punktu C będziemy szukać poniżej prostej AB .

Mamy dwie możliwe konfiguracje punktów A i B i wtedy odpowiednio dwa różne położenia punktów D i C , ale konfiguracje te różnią się o symetrię względem prostej prostopadłej do AB i przechodzącej przez S , więc w obu przypadkach otrzymamy dokładnie takie samo pole trójkąta ABC . Przyjmijmy więc oznaczenia z rysunku, tzn. załóżmy, że punkt A jest na lewo od punktu B .

Wyznaczmy współrzędne punktów A i B . Podstawiamy

y = 1x − 4- 3 3

do równania okręgu.

 ( ) 2 ( ) 2 50 = (x− 5)2 + 1-x− 4-+ 3 = (x − 5)2 + 1-x+ 5- 3 3 3 3 1 10 25 50 = x2 − 10x + 25 + --x2 + --x + --- / ⋅9 2 9 9 9 0 = 10x − 80x − 200 / : 10 0 = x2 − 8x− 20.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

 2 Δ = 6 4+ 8 0 = 144 = 12 8− 12 8+ 12 x = --2----= − 2 lub x = --2----= 1 0.

Stąd y = 1x − 4= − 2 3 3 i y = 1 x− 4 = 2 3 3 odpowiednio. Zatem A = (− 2,− 2) i B = (10,2 ) . Obliczmy długość odcinka AB (ta długość jest nam potrzebna do obliczenia pola trójkąta ABC ).

 ∘ -------------------- √ --------- √ ---- √ --- AB = (10+ 2)2 + (2+ 2 )2 = 144 + 16 = 160 = 4 10 .

Wyznaczmy teraz współrzędne punktu D = (xD ,yD) – najprościej to zrobić przy użyciu wektorów.

 −→ − → AD = 3AB = 3[10 + 2,2 + 2] 4 4 [xD + 2,yD + 2] = [9 ,3].

Mamy stąd

{ xD = 9 − 2 = 7 yD = 3− 2 = 1

i D = (7,1) . Piszemy teraz równanie prostej CD – jest ona prostopadła do prostej AB , więc ma równanie postaci

y = − 3x + b.

Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu D .

1 = − 3⋅ 7+ b ⇒ b = 1 + 21 = 2 2.

Prosta CD ma więc równanie y = − 3x + 22 .

Szukamy teraz punktów wspólnych prostej CD i danego okręgu (czyli wyznaczamy możliwe współrzędne punktu C ). Podstawiamy y = − 3x+ 22 do równania okręgu.

50 = (x− 5)2 + (y+ 3)2 = (x − 5)2 + (− 3x + 22 + 3)2 50 = (x− 5)2 + (− 3x+ 25)2 = x2 − 10x + 2 5+ 9x2 − 150x + 62 5 2 0 = 10x − 160x + 600 / : 10 0 = x2 − 16x + 60.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

 2 2 Δ = 16 − 4 ⋅60 = 2 56− 240 = 16 = 4 1-6−-4- 16+--4- x1 = 2 = 6 lub x2 = 2 = 10 .

Mamy wtedy y = − 3x + 22 = 4 i y = − 3x + 22 = − 8 odpowiednio. Zatem C = (6,4) lub C = (10,− 8) . Pierwszy z tych punktów znajduje się powyżej prostej AB :

 1 4 4 2 yC = 4 > -xC − --= 2 − --= --, 3 3 3 3

więc jak już zauważyliśmy wcześniej, otrzymujemy wtedy trójkąt rozwartokątny. Zatem C = (10,− 8) i

 ∘ -------------------- √ ------- √ --- √ --- CD = (7 − 10 )2 + (1 + 8)2 = 9+ 81 = 90 = 3 10.

Pole trójkąta ABC jest więc równe

 1 1 √ --- √ --- PABC = --⋅AB ⋅CD = --⋅4 10 ⋅3 10 = 60. 2 2

 
Odpowiedź: PABC = 6 0

Wersja PDF
spinner