Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2716275

Boki AB i CA trójkąta ABC są zawarte w prostych y + 12 = 7x i 2y + x = 6 , a jego dwa wierzchołki mają współrzędne B = (1,− 5) i C = (10,− 2) . Oblicz pole tego trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Rozpocznijmy od wyznaczenia współrzędnych wierzchołka A , czyli punktu wspólnego podanych prostych.

{ y + 12 = 7x 2y + x = 6 .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze pomnożone przez 2 (żeby skrócić y ) i mamy

x− 24 = 6 − 14x ⇒ 15x = 30 ⇒ x = 2 .

Stąd y = 7x − 1 2 = 14 − 12 = 2 i A = (2,2) .

Sposób I

Aby obliczyć pole trójkąta obliczymy długość wysokości BD trójkąta ABC . Prosta BD jest prostopadła do prostej AC , czyli do prostej y = − 12 x+ 3 , więc ma równanie postaci y = 2x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu B .

− 5 = 2+ b ⇒ b = − 7.

Wysokość BD ma więc równanie y = 2x − 7 . Szukamy teraz punktu wspólnego D tej wysokości i prostej AC .

{ y = 2x− 7 1 y = − 2x+ 3.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić y ) i mamy

 1 0 = 2x + --x− 7− 3 2 5- 10 = 2 x ⇒ x = 4.

Mamy stąd y = 2x − 7 = 1 i D = (4,1) . Liczymy teraz długość podstawy AC i wysokości BD trójkąta.

 ∘ ---------------------- AC = (10− 2)2 + (− 2− 2 )2 = √ 64-+-16-= √ 8-0 = 4√ 5- ∘ ------------------- 2 2 √ ------- √ --- √ -- BD = (4− 1) + (1 + 5 ) = 9+ 36 = 45 = 3 5.

Pole trójkąta jest więc równe

 √ -- √ -- PABC = 1-AC ⋅BD = 1⋅ 4 5⋅ 3 5 = 6 ⋅5 = 30. 2 2

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA ,yA ) , B = (xB,yB ) i C = (xC ,yC) .

 1 PABC = --|(xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA )(xC − xA )|. 2

Mamy więc

 1 1 PABC = -|(1− 2)(− 2− 2)− (− 5 − 2)(1 0− 2 )| = -|4+ 56| = 30. 2 2

 
Odpowiedź: 30

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!