/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Dowolny/Pole

Zadanie nr 2829456

Dane są punkty A = (− 4,0) i M = (2 ,9) oraz prosta k o równaniu y = − 2x+ 10 . Wierzchołek B trójkąta ABC to punkt przecięcia prostej k z osią Ox układu współrzędnych, a wierzchołek C jest punktem przecięcia prostej k z prostą AM . Oblicz pole trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Wyznaczmy najpierw punkt przecięcia prostej k z osią Ox .

− 2x + 10 = 0 2x = 1 0 ⇒ x = 5.

W takim razie B = (5,0 ) .

Piszemy teraz równanie prostej AM – szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów A i M .

{ 0 = − 4a + b 9 = 2a + b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić b ) i mamy 6a = 9 , czyli 3 a = 2 . Z pierwszego równania wyznaczamy b .

b = 4a = 6.

Prosta AM ma więc równanie 3 y = 2x + 6 . Szukamy teraz punktu wspólnego tej prostej z prostą k .

{ 3 y = 2x+ 6 y = − 2x + 1 0

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić y ) i mamy

3- 7- 0 = 2x + 2x + 6 − 1 0 = 2x − 4 7 2 --x = 4 / ⋅-- 2 7 x = 8. 7

Stąd

16 54 y = − 2x + 10 = − ---+ 10 = --- 7 7

i (8 54) C = 7 ,7 . Pole trójkąta ABC jest więc równe

1 1 54 243 5 PABC = --AB ⋅h = --⋅(5 + 4) ⋅---= ----= 34--. 2 2 7 7 7

 
Odpowiedź: 243 5 7 = 34 7

Wersja PDF