Zadanie nr 2989011
Środek okręgu o równaniu i punkt
należą do prostej
, która przecina okrąg w punktach
i
. Oblicz pole trójkąta
gdzie
to początek układu współrzędnych.
Rozwiązanie
Zacznijmy od przekształcenia podanego równania okręgu

Jest to więc okrąg o środku i promieniu 4. Możemy teraz wykonać szkicowy rysunek.
Zastanówmy się co dalej zrobić. Narzucające się dalsze rozwiązanie to wyznaczenie równania prostej , znalezienie punktów wspólnych
i
z okręgiem i …. No właśnie i co dalej? Mamy dwie możliwości. Możemy zauważyć, że trójkąt
jest trójkątem prostokątnym (kąt
jest oparty na średnicy), a więc do policzenia pola wystarczy znać długości odcinków
i
.
Drugi sposób jest znacznie prostszy. Do obliczenia pola trójkąta wystarczy znać długości jego podstawy
i wysokości opuszczonej na tę podstawę. Ponieważ
jest średnicą okręgu to znamy jej długość: wynosi 8. Z długością wysokości jest trochę trudniej – jest to odległość punktu
od prostej
. Tak czy inaczej, jest to bardzo proste rozwiązanie, bo nie musimy wyliczać współrzędnych punktów
i
!
No to liczymy. Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty i
:

W naszej sytuacji prosta ma równanie

Teraz liczymy odległość tej prostej od punktu . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu
od prostej
:

W naszej sytuacji

Zatem szukane pole wynosi

Odpowiedź: