Zadanie nr 2989011

Środek okręgu o równaniu 2 2 x + y − 8x = 0 i punkt P (1 ,4) należą do prostej , która przecina okrąg w punktach i . Oblicz pole trójkąta ABO gdzie to początek układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Zacznijmy od przekształcenia podanego równania okręgu

2 2 x + y − 8x = 0 x2 − 8x+ 16− 16 + y2 = 0 2 2 (x− 4) + y = 16.

Jest to więc okrąg o środku S(4,0) i promieniu 4. Możemy teraz wykonać szkicowy rysunek.

Zastanówmy się co dalej zrobić. Narzucające się dalsze rozwiązanie to wyznaczenie równania prostej P S , znalezienie punktów wspólnych i z okręgiem i …. No właśnie i co dalej? Mamy dwie możliwości. Możemy zauważyć, że trójkąt AOB jest trójkątem prostokątnym (kąt ∡AOB jest oparty na średnicy), a więc do policzenia pola wystarczy znać długości odcinków i .

Drugi sposób jest znacznie prostszy. Do obliczenia pola trójkąta AOB wystarczy znać długości jego podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę. Ponieważ jest średnicą okręgu to znamy jej długość: wynosi 8. Z długością wysokości jest trochę trudniej – jest to odległość punktu od prostej . Tak czy inaczej, jest to bardzo proste rozwiązanie, bo nie musimy wyliczać współrzędnych punktów i !