Zadanie nr 3453381
Styczne do okręgu o równaniu , które są równoległe do prostej o równaniu
, przecinają prostą
w punktach
i
. Oblicz pole trójkąta
, jeśli
.
Rozwiązanie
Przekształćmy najpierw równanie danego okręgu, tak aby ustalić jaki ma środek i promień

Jest to zatem okrąg o środku i promieniu
. Możemy zatem zrobić schematyczny rysunek.
Szukane styczne mają być równoległe do prostej , są zatem postaci
. Jest wiele różnych sposobów wyznaczenia współczynnika
, my pokażemy dwa z nich.
Sposób I
Skorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej
:

W naszej sytuacji chcemy aby punkt był w odległości
od prostej
. Prowadzi to do równania

Są zatem dwie styczne spełniające warunki zadania.

Szukamy teraz punktów wspólnych i
tych stycznych z prostą
. Najpierw pierwsza styczna

Teraz druga styczna

Aby obliczyć pole trójkąta , korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach
,
i
.

W naszej sytuacji

Sposób II
Szukane styczne mają mieć jeden punkt wspólny z danym okręgiem, tzn. układ równań

ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Układ ten sprowadza się do równania

Ponieważ równanie to ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie, to , czyli

Rozwiązujemy trzymane równanie kwadratowe.

Są zatem dwie styczne spełniające warunki zadania.

Tak samo jak poprzednim sposobie, wyznaczamy teraz i
. Pole trójkąta obliczymy jednak inaczej – znamy długość podstawy

Wysokość opuszczona na tę podstawę to odległość punktu
od prostej
.

Pole trójkąta jest więc równe

Odpowiedź: 20