Zadanie nr 8172357

Oblicz pole trójkąta utworzonego przez osie układu współrzędnych i przez prostą o ujemnym współczynniku kierunkowym do której należy punkt A = (1,1) . Dla jakiej wartości pole tego trójkąta jest najmniejsze?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Równanie prostej o współczynniku kierunkowym i przechodzącej przez punkt A = (1,1) możemy zapisać w postaci

y = m (x − 1)+ 1 = mx + (1 − m ).

Punkt przecięcia tej prostej z osią to (0,1 − m ) . Wyznaczmy jeszcze punkt wspólny tej prostej z osią .

mx + (1− m ) = 0 mx = m − 1 / : m m − 1 1 x = --m--- = 1 − m-.

Stąd ( ) C = m-−1,0 m i pole trójkąta, o którym mowa w treści zadania jest więc równe

( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 PBOC = --⋅(1 − m )⋅ 1 − -- = -- 1 − -- − m + 1 = -- 2− --− m . 2 m 2 m 2 m

Wyznaczymy teraz najmniejszą możliwą wartość funkcji

f (m ) = 2− 1-− m m

określonej w przedziale (−∞ ,0 ) . Liczymy pochodną

1 1 − m 2 (1− m )(1 + m ) f′(m ) = --2 − 1 = ----2-- = --------2------. m m m

Pochodna jest ujemna w przedziale (− ∞ ,− 1) i dodatnia w przedziale (− 1,0) . To oznacza, że w przedziale (−∞ ,− 1⟩ funkcja maleje, a w przedziale ⟨− 1 ,0 ) rośnie. W takim razie najmniejszą wartość funkcji otrzymamy dla m = − 1 . Pole jest wtedy równe