Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8172357

Oblicz pole trójkąta utworzonego przez osie układu współrzędnych i przez prostą o ujemnym współczynniku kierunkowym m do której należy punkt A = (1,1) . Dla jakiej wartości m pole tego trójkąta jest najmniejsze?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Równanie prostej o współczynniku kierunkowym m i przechodzącej przez punkt A = (1,1) możemy zapisać w postaci

y = m (x − 1)+ 1 = mx + (1 − m ).

Punkt przecięcia B tej prostej z osią Oy to (0,1 − m ) . Wyznaczmy jeszcze punkt C wspólny tej prostej z osią Ox .

mx + (1− m ) = 0 mx = m − 1 / : m m − 1 1 x = --m--- = 1 − m-.

Stąd  ( ) C = m-−1,0 m i pole trójkąta, o którym mowa w treści zadania jest więc równe

 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 PBOC = --⋅(1 − m )⋅ 1 − -- = -- 1 − -- − m + 1 = -- 2− --− m . 2 m 2 m 2 m

Wyznaczymy teraz najmniejszą możliwą wartość funkcji

f (m ) = 2− 1-− m m

określonej w przedziale (−∞ ,0 ) . Liczymy pochodną

 1 1 − m 2 (1− m )(1 + m ) f′(m ) = --2 − 1 = ----2-- = --------2------. m m m

Pochodna jest ujemna w przedziale (− ∞ ,− 1) i dodatnia w przedziale (− 1,0) . To oznacza, że w przedziale (−∞ ,− 1⟩ funkcja f maleje, a w przedziale ⟨− 1 ,0 ) rośnie. W takim razie najmniejszą wartość funkcji otrzymamy dla m = − 1 . Pole jest wtedy równe

 ( ) P = 1- 2 − -1 − m = 2. BOC 2 m

 
Odpowiedź:  ( ) P = 1 2 − 1-− m 2 m , Pmin = P(− 1) = 2 .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!