Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9858751

Wierzchołek C trójkąta ABC leży na prostej y = 3x + 4 , a pozostałe wierzchołki mają współrzędne A = (− 1,− 4) i B = (2,5 ) . Uzasadnij, że pole trójkąta ABC nie zależy od wyboru punktu C i oblicz to pole.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Możemy zacząć od rysunku.


PIC


Rysunek sugeruje, że prosta AB jest równoległa do podanej prostej y = 3x+ 4 . Jeżeli uda nam się to pokazać, to będzie jasne, że pole trójkąta ABC nie będzie zależeć od położenia punkty C . Pole to będzie równe

1 -AB ⋅h , 2

gdzie h jest odległością między tymi prostymi. Od razu obliczmy

 ∘ ------- √ --- √ --- AB = 32 + 9 2 = 90 = 3 1 0.

Teraz sprawdzimy, że podana prosta i prosta AB są rzeczywiście równoległe.

Sposób I

Napiszmy równanie prostej AB . Szukamy prostej postaci y = ax + b . Wstawiając współrzędne punktów A i B otrzymujemy układ równań.

{ − 4 = −a + b 5 = 2a+ b

Dodając do drugiego równania pierwsze pomnożone przez 2 (żeby skrócić a ), mamy

− 3 = 3b ⇒ b = − 1.

Zatem a = b + 4 = 3 i prosta ta ma równanie y = 3x − 1 . Rzeczywiście jest więc ona równoległa do prostej zawierającej wierzchołek C (mają ten sam współczynnik kierunkowy). Policzmy jeszcze odległość między tymi prostymi. Skorzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x 0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2

Stosujemy go dla punktu A = (− 1,− 4) i danej prostej y − 3x − 4 = 0 .

|−--4+--3−-4-| --5-- √ 1-+-9- = √ 10-.

Zatem pole jest równe

 1- √ --- --5-- 15- P = 2 ⋅3 10 ⋅√ ---= 2 . 10

Sposób II

Zamiast wyznaczać równanie prostej AB , mogliśmy tylko sprawdzić czy odległość punktów A i B od danej prostej y − 3x − 4 = 0 jest taka sama. Liczymy

A : |−-√4+-3−--4|= √-5-- 1 + 9 10 |5− 6− 4 | 5 B : --√--------= √----. 1+ 9 10

Odległości te są równe, więc proste są równoległe. Pole liczymy jak poprzednio.

Sposób III

Możemy też skorzystać z gotowego wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA ,yA ) , B = (xB ,yB) i C = (xC ,yC ) .

PABC = 1-|(xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA )(xC − xA )|. 2

W naszej sytuacji C = (x,3x + 4) i mamy

 1 1 15 P = --|(2 + 1)(3x + 4+ 4 )− (5 + 4)(x + 1 )| = -|9x + 24 − 9x − 9| = --. 2 2 2

Widać, że liczba ta nie zależy od x , czyli pole nie zależy od wyboru punktu C .  
Odpowiedź: 15 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!