Zadanie nr 9858751
Wierzchołek trójkąta
leży na prostej
, a pozostałe wierzchołki mają współrzędne
i
. Uzasadnij, że pole trójkąta
nie zależy od wyboru punktu
i oblicz to pole.
Rozwiązanie
Możemy zacząć od rysunku.
Rysunek sugeruje, że prosta jest równoległa do podanej prostej
. Jeżeli uda nam się to pokazać, to będzie jasne, że pole trójkąta
nie będzie zależeć od położenia punkty
. Pole to będzie równe

gdzie jest odległością między tymi prostymi. Od razu obliczmy

Teraz sprawdzimy, że podana prosta i prosta są rzeczywiście równoległe.
Sposób I
Napiszmy równanie prostej . Szukamy prostej postaci
. Wstawiając współrzędne punktów
i
otrzymujemy układ równań.

Dodając do drugiego równania pierwsze pomnożone przez 2 (żeby skrócić ), mamy

Zatem i prosta ta ma równanie
. Rzeczywiście jest więc ona równoległa do prostej zawierającej wierzchołek
(mają ten sam współczynnik kierunkowy). Policzmy jeszcze odległość między tymi prostymi. Skorzystamy ze wzoru na odległość punktu
od prostej
:

Stosujemy go dla punktu i danej prostej
.

Zatem pole jest równe

Sposób II
Zamiast wyznaczać równanie prostej , mogliśmy tylko sprawdzić czy odległość punktów
i
od danej prostej
jest taka sama. Liczymy

Odległości te są równe, więc proste są równoległe. Pole liczymy jak poprzednio.
Sposób III
Możemy też skorzystać z gotowego wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach ,
i
.

W naszej sytuacji i mamy

Widać, że liczba ta nie zależy od , czyli pole nie zależy od wyboru punktu
.
Odpowiedź: