/Szkoła średnia/Równania/Układy równań/Liniowy/Z parametrem

Zadanie nr 2952877

Określ liczbę rozwiązań układu równań { mx + y = 1 x + my = 1 w zależności od wartości parametru m . Dla tych wartości m , dla których istnieją rozwiązania, rozwiąż ten układ.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Próbujemy rozwiązać podany układ. Na razie nie przejmujemy się parametrem – ważne jest tylko, żeby przez niego nie dzielić (bo może być 0). Odejmujemy od pierwszego równania drugie pomnożone przez m (żeby skrócić x ).

{ mx + y − (mx + m 2y) = 1 − m x+ my = 1 { (1 − m 2)y = 1− m x+ my = 1

Widać teraz, że jeżeli m 2 ⁄= 1 , to możemy jednoznacznie wyliczyć x i y

{ y = 1−m-2 = -1-- 1−m 1+m -m-- --1- x = 1− my = 1 − 1+m = 1+m .

Jeżeli natomiast m 2 = 1 , to m = − 1 lub m = 1 . Dla m = − 1 pierwsze równanie jest sprzeczne i układ nie ma rozwiązań. Dla m = 1 , pierwsze równanie jest spełnione przez dowolnego y -ka, a z drugiego równania mamy x = 1− y . Zatem układ spełnia dowolna para (x,y ) = (1− y,y) .

Sposób II

Korzystamy z metody wyznacznikowej. Liczymy wyznacznik główny układu

| | |m 1| W = || || = m 2 − 1. 1 m

Jeżeli W = 0 , czyli m = ± 1 , to sprawdzamy ręcznie jak wygląda układ – podobnie jak w poprzednim podpunkcie. Jeżeli natomiast W ⁄= 0 , to rozwiązania układu są równe

| | ||1 1|| Wx |1 m | m − 1 1 x = ----= --2---- = --2---- = ------ W m| − 1| m − 1 m + 1 ||m 1|| Wy-- |1---1| -m-−--1 --1--- y = W = m 2 − 1 = m 2 − 1 = m + 1 .

 
Odpowiedź: --1- x = y = 1+m dla 2 m ⁄= 1 ; x = 1− y,y ∈ R dla m = 1 ; sprzeczny dla m = − 1

Wersja PDF