Zadanie nr 2952877
Określ liczbę rozwiązań układu równań w zależności od wartości parametru
. Dla tych wartości
, dla których istnieją rozwiązania, rozwiąż ten układ.
Rozwiązanie
Sposób I
Próbujemy rozwiązać podany układ. Na razie nie przejmujemy się parametrem – ważne jest tylko, żeby przez niego nie dzielić (bo może być 0). Odejmujemy od pierwszego równania drugie pomnożone przez (żeby skrócić
).

Widać teraz, że jeżeli , to możemy jednoznacznie wyliczyć
i

Jeżeli natomiast , to
lub
. Dla
pierwsze równanie jest sprzeczne i układ nie ma rozwiązań. Dla
, pierwsze równanie jest spełnione przez dowolnego
-ka, a z drugiego równania mamy
. Zatem układ spełnia dowolna para
.
Sposób II
Korzystamy z metody wyznacznikowej. Liczymy wyznacznik główny układu

Jeżeli , czyli
, to sprawdzamy ręcznie jak wygląda układ – podobnie jak w poprzednim podpunkcie. Jeżeli natomiast
, to rozwiązania układu są równe

Odpowiedź: dla
;
dla
; sprzeczny dla