/Szkoła średnia/Równania/Układy równań/Liniowy/Z parametrem

Zadanie nr 3794267

Dla jakich wartości parametru k wśród rozwiązań układu równań:

{ x− ky = 1 −y + kx = 1

jest para liczb (x,y ) spełniających warunek: x+ 4y ≤ 1 ?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Spróbujmy rozwiązać ten układ równań. Od pierwszego równania odejmujemy drugie pomnożone przez k (żeby skrócić y ).

2 x − ky + ky − k x = 1− k x(1 − k2) = 1 − k x(1 − k)(1 + k) = 1− k .

Jeżeli k = − 1 to powyższa równość jest sprzeczna. Jeżeli k = 1 to x jest dowolne, a y wyraża się wzorem

y = kx− 1 = x − 1.

Mamy wtedy

x + 4y = x+ 4x− 4 = 5x − 4.

Z pewnością można więc znaleźć x , dla którego x + 4y ≤ 1 (np. x = 0 ).

Pozostał nam przypadek k ⁄= ± 1 . Mamy wtedy -1-- x = 1+k oraz

k − 1 y = kx − 1 = -----− 1 = ------. 1+ k 1 + k

Pozostało rozwiązać nierówność

x+ 4y ≤ 1 --1--− --4---≤ 1 1+ k 1 + k 3 0 ≤ ------+ 1 k + 1 0 ≤ k-+-4- k + 1 k ∈ (−∞ ,− 4⟩ ∪ (− 1,+ ∞ ).

Uwzględniając wcześniej rozważone przypadki mamy k ∈ (− ∞ ,− 4 ⟩∪ (− 1,+ ∞ ) .

Sposób II

Tym razem zastosujemy metodę wyznacznikową. Liczymy wyznaczniki.

| | |1 −k | 2 W = ||k − 1|| = − 1 + k = (k − 1)(k + 1) | | ||1 −k || Wx = |1 − 1| = − 1 + k || || Wy = |1 1| = 1 − k. |k 1|

Widać teraz, że jeżeli k = − 1 to układ jest sprzeczny (bo W = 0 i Wx ⁄= 0 ).

Jeżeli k = 1 to układ jest nieoznaczony i równoważny równaniu x− y = 1 . Oczywiście znajdziemy wśród liczb spełniających to równanie parę spełniającą dodatkowo x + 4y ≤ 1 (wystarczy np., że x,y < 0 , np. x = − 1,y = − 2 ).

Pozostał do rozpatrzenia przypadek k ⁄= − 1 i k ⁄= 1 . Układ ma wtedy dokładnie jedno rozwiązanie

( W W ) ( 1 1 ) (x,y ) = --x,--y- = ------,− ------ . W W k + 1 k+ 1

Pozostało rozwiązać nierówność

x+ 4y ≤ 1 --1--- --4--- 1+ k − 1 + k ≤ 1 0 ≤ --3---+ 1 k + 1 k-+-4- 0 ≤ k + 1 k ∈ (−∞ ,− 4⟩ ∪ (− 1,+ ∞ ).

Uwzględniając wcześniej rozważone przypadki mamy k ∈ (− ∞ ,− 4 ⟩∪ (− 1,+ ∞ ) .  
Odpowiedź: k ∈ (− ∞ ,− 4⟩∪ (−1 ,+∞ )

Wersja PDF