Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4584278

Dla jakich współczynników a i c układ { 3x − 2y = 8 ax + 4y = c

  • ma nieskończenie wiele rozwiązań;
  • jest sprzeczny?
Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Spróbujmy rozwiązać ten układ (nie przejmujemy się parametrami). W tym celu do drugiego równania dodajmy pierwsze pomnożone przez 2 (żeby skrócić y ).

{ 3x − 2y = 8 (a+ 6)x = c + 16.

Po pierwsze zauważmy, że to ile układ ma rozwiązań zależy tylko od drugiego równania, czyli od tego ile jest możliwych wartość x – tak jest, bo z pierwszego równania można zawsze jednoznacznie wyliczyć y w zależności od x .

  • Jeżeli układ ma mieć nieskończenie wiele rozwiązań, to nieskończenie wiele rozwiązań musi mieć drugie równanie, czyli a = − 6 i c = − 16 .  
    Odpowiedź: a = −6 i c = − 16
  • Jeżeli układ ma być sprzeczny, to sprzeczne musi być drugie równanie, czyli a = − 6 i c ⁄= − 16 .  
    Odpowiedź: a = − 6 i c ⁄= − 16

Sposób II

Zadanie możemy rozwiązać metodą wyznacznikową.

 | | | | | | |3 −2 | |8 − 2| |3 8| W = ||a 4 || = 12+ 2a, Wx = ||c 4 || = 32 + 2c, Wy = ||a c|| = 3c − 8a.
  • Jeżeli układ ma mieć nieskończnie wiele rozwiązań, to musimy mieć W = Wx = Wy = 0 , czyli a = − 6 i c = − 16 .  
    Odpowiedź: a = −6 i c = − 16
  • Jeżeli układ ma być sprzeczny, to musimy mieć W = 0 i (Wx ⁄= 0 lub W ⁄= 0 y ). Pierwszy warunek oznacza, że a = − 6 , a drugi daje c ⁄= − 16 .  
    Odpowiedź: a = − 6 i c ⁄= − 16
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!