Zadanie nr 6012560

Wyznacz te wartości parametru , dla których rozwiązaniem układu równań { 2x+ y = m x+ 3y = 2 jest para liczb różnych znaków.

Rozwiązanie

Sposób I

Nie przejmujemy się parametrem i rozwiązujemy podany układ równań. Odejmujemy od pierwszego równania drugie pomnożone przez 2 (żeby skrócić ).

{ 2x + y− (2x+ 6y) = m − 4 {x + 3y = 2. − 5y = m − 4 x + 3y = 2. { 4−m y = -5-- x = 2− 3y = 2 − 12−-3m-= 3m-−2. 5 5

Jeżeli rozwiązania mają być różnych znaków, to musi być spełniona nierówność

xy < 0 (3m − 2)(4 − m ) < 0 / : (− 3) ( 2 ) 3 m − -- (m − 4 ) > 0 ( 3 ) 2 m ∈ − ∞ ,-- ∪ (4 ,+ ∞ ). 3

Mogliśmy też osobno sprawdzić kiedy x > 0 i y < 0 lub x < 0 i y > 0 .

Sposób II

Podany układ wygodnie jest rozwiązać metodą wyznacznikową

| | ||2 1|| W = |1 3| = 6 − 1 = 5 || || Wx = |m 1|= 3m − 2 |2 3| ||2 m || Wy = || || = 4− m . 1 2

Stąd

W 3m − 2 x = --x-= ------- W 5 Wy-- 4-−-m- y = W = 5 .

Dalej rozwiązujemy tak jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: m ∈ (− ∞ , 2) ∪ (4,+ ∞ ) 3