Zadanie nr 9702863

Dla jakich wartości parametru rozwiązaniem układu równań { mx + 3y = 3m 4x+ 6y = 2 jest para liczb nieujemnych?

Rozwiązanie

Sposób I

Nie przejmujemy się parametrem i rozwiązujemy podany układ równań. Odejmujemy od drugiego równania pierwsze pomnożone przez 2 (żeby skrócić ).

4x + 6y− 2mx − 6y = 2 − 6m 6m − 2 3m − 1 6m − 2 = x (2m − 4 ) ⇒ x = ------- = -------. 2m − 4 m − 2

Z drugiego równania układy obliczamy teraz .

1 − 6m-−2 m−-2−6m+-2 y = 2-−-4x- = 1-−-2x- = -----m−-2 = ---m−-2----= − --5m--- . 6 3 3 3 3m − 6

Oczywiście ten rachunek ma sens tylko jeżeli m ⁄= 2 .

Pozostało teraz rozwiązać nierówności

3m − 1 5m ------- ≥ 0 ∧ − ------- ≥ 0 m(− 2 ) 3m − 6 1- 3 m − 3 (m − 2 ) ≥ 0 ∧ 3m (m − 2 ) ≤ 0 ( ⟩ m ∈ − ∞ , 1 ∪ (2 ,+ ∞ ) ∧ m ∈ ⟨0,2) 3 ⟨ 1⟩ m ∈ 0,-- . 3

Sposób II

Podany układ wygodnie jest rozwiązać metodą wyznacznikową

| | ||m 3|| W = |4 6| = 6m − 12 | | W = ||3m 3 ||= 18m − 6 x |2 6 | || || Wy = |m 3m | = 2m − 12m = − 10m . |4 2 |

Stąd

x = Wx--= 18m--−-6-= 3m-−-1- W 6m − 12 m − 2 Wy − 10m − 5m y = -W--= 6m-−--12-= 3m-−-6-.

Dalej rozwiązujemy jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: ⟨ ⟩ m ∈ 0, 13