/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Miejsca geometryczne punktów

Zadanie nr 2424234

Punkty A = (− 1,4) oraz B = (0,2) należą do prostej k . Punkt S ma współrzędne S = (− 2,− 4) . Oblicz współrzędne punktów należących do prostej k , których odległość od punktu S wynosi 5.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Wyznaczymy najpierw równanie prostej AB . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b . Podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ 4 = −a + b . 2 = b

Zatem

4 = −a + 2 ⇒ a = − 2

i prosta k ma równanie y = − 2x + 2 .

Szukamy teraz punktu C = (x,y) = (x,− 2x + 2) na tej prostej, którego odległość od punktu S = (−2 ,−4 ) jest równa 5.

SC 2 = 25 2 2 (x+ 2) + (− 2x+ 2+ 4) = 25 (x+ 2)2 + (− 2x+ 6)2 = 25 x2 + 4x + 4 + 4x2 − 24x + 3 6 = 25 2 5x − 20x + 15 = 0 / : 5 x2 − 4x + 3 = 0.

Obliczamy wyróżnik i pierwiastki

2 2 Δ = (− 4) − 4⋅3 = 16 − 12 = 4 = 2 4−--2- 4-+-2- x = 2 = 1 lub x = 2 = 3.

Wtedy odpowiednio

y = − 2⋅1 + 2 = 0 lub y = − 2 ⋅3+ 2 = − 4.

Mamy zatem C = (1 ,0) lub C = (3,− 4) .  
Odpowiedź: (1,0), (3,− 4)

Wersja PDF