/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Miejsca geometryczne punktów

Zadanie nr 3602169

Dana jest prosta k o równaniu x + y − 12 = 0 oraz punkt M (− 5;9) wyznacz na prostej k takie punkty P i R aby |MP | = |MR | = 8 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy sobie podaną sytuację i robi się jasne, że musimy znaleźć punkty wspólne podanej prostej i okręgu o środku M = (− 5,9) i promieniu 8.

PIC

Równanie tego okręgu to

(x + 5)2 + (y − 9)2 = 64.

Musimy rozwiązać układ równań

{ y = −x + 12 (x + 5)2 + (y − 9)2 = 64 ,

który prowadzi do równania

2 2 (x + 5 ) + (−x + 12 − 9) = 64 (x + 5 )2 + (−x + 3)2 = 6 4 2 2 x + 10x + 25+ x − 6x + 9 = 64 2 2x + 4x + 34 = 64 2x 2 + 4x − 30 = 0 2 x + 2x − 15 = 0.

Liczymy dalej, Δ = 4 + 60 = 64 = 82 , x = − 5 lub x = 3 . Stąd y = 17 i y = 9 odpowiednio.  
Odpowiedź: (− 5,17) i (3,9)

Wersja PDF