Zadanie nr 3956358
W układzie współrzędnych dane są punkty ,
i
. Wyznacz wszystkie punkty
prostej
, które są różne od punktów
i
, i dla których suma pól trójkątów
i
jest mniejsza od 120.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Zacznijmy od wyznaczenia równania prostej . Szukamy prostej w postaci
i podstawiamy współrzędne punktów
i
.
![{ −3 = − 3a+ b 1 = 9a + b](https://img.zadania.info/zad/3956358/HzadR5x.png)
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić ) i mamy
![1 4 = 12a ⇒ a = 3-.](https://img.zadania.info/zad/3956358/HzadR7x.png)
Stąd i prosta
ma równanie
. Punkt
ma więc współrzędne postaci
.
Sposób I
Trójkąty i
mają wspólną wysokość
opuszczoną na prostą
i jest to po prostu odległość punktu
od tej prostej. Obliczmy ją – korzystamy ze wzoru na odległość
punktu
od prostej
:
![|Ax-0-+-By-0 +-C|- √ --2----2- . A + B](https://img.zadania.info/zad/3956358/HzadR21x.png)
Nasza prosta ma równanie i odległość punktu
od niej to
![√ --- h = |-−-1√8-−-8-+-6| = √2-0- = 2 10 . 9 + 1 1 0](https://img.zadania.info/zad/3956358/HzadR24x.png)
Musi więc być spełniony warunek
![120 > PADC + PBDC / ⋅2 240 > |AD |⋅h + |BD |⋅ h √ --- √ --- 240 > 2 1 0(|AD |+ |BD |) / : 2 10 120 √ --- |AD |+ |BD | < √----= 12 10. 10](https://img.zadania.info/zad/3956358/HzadR25x.png)
Zauważmy teraz, że
![∘ --------------------------- ∘ --------------------- √ --- ( 1 ) 2 1 10 |AD | = (x + 3)2 + --x− 2+ 3 = (x + 3)2 + --(x+ 3)2 = -----⋅|x + 3| ∘ ------------3-------------- 9 3 ( ) 2 ∘ --------------------- √ --- |BD | = (x − 9)2 + 1-x− 2− 1 = (x − 9)2 + 1-(x− 9)2 = --10-⋅|x − 9|. 3 9 3](https://img.zadania.info/zad/3956358/HzadR26x.png)
Pozostało więc rozwiązać nierówność
![√ --- √ --- √ --- 12 10 > --10-⋅|x + 3|+ --1-0⋅ |x − 9 | /⋅ √3--- 3 3 10 36 > |x + 3|+ |x− 9|.](https://img.zadania.info/zad/3956358/HzadR27x.png)
Jeżeli , to mamy nierówność
![36 > x + 3 + x − 9 42 > 2x ⇐ ⇒ 21 > x .](https://img.zadania.info/zad/3956358/HzadR29x.png)
Rozwiązaniem w tym przypadku jest więc przedział .
Jeżeli , to mamy nierówność
![36 > (x + 3) − (x − 9) 36 > 12.](https://img.zadania.info/zad/3956358/HzadR32x.png)
Rozwiązaniem w tym przypadku jest przedział .
Jeżeli wreszcie , to mamy nierówność
![36 > − (x + 3) − (x − 9) 2x > − 30 ⇐ ⇒ x > − 1 5.](https://img.zadania.info/zad/3956358/HzadR35x.png)
Rozwiązaniem w tym przypadku jest przedział .
Suma wszystkich otrzymanych rozwiązań to zbiór
![x ∈ (− 15 ,−3 )∪ [− 3,9)∪ [9,21 ) = (− 15,21).](https://img.zadania.info/zad/3956358/HzadR37x.png)
Na koniec musimy jeszcze z tego zbioru wyrzucić i
, bo dla tych wartości otrzymujemy punkty
i
odpowiednio.
Sposób II
Tym razem skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach ,
i
.
![P = 1-|(x − x )(y − y ) − (y − y )(x − x )|. ABC 2 B A C A B A C A](https://img.zadania.info/zad/3956358/HzadR45x.png)
W naszej sytuacji
![| ( ) | P = 1-||(x+ 3)(− 6+ 3)− 1x − 2 + 3 (8 + 3)|| = ADC 2 | 3 | || || = 1-|− 3(x+ 3)− 11(x + 3 )|= 10-⋅|x+ 3| 2 | 3 | 3](https://img.zadania.info/zad/3956358/HzadR46x.png)
i
![| ( ) | 1-|| 1- || PBDC = 2 |(x− 9)(− 6− 1)− 3 x − 2− 1 (8 − 9)| = || || = 1-|−7 (x− 9)+ 1(x − 9)| = 10-⋅|x − 9 |. 2 | 3 | 3](https://img.zadania.info/zad/3956358/HzadR47x.png)
Pozostało teraz rozwiązać nierówność
![12 0 > 10-⋅|x + 3|+ 10-⋅|x− 9| / ⋅-3- 3 3 10 3 6 > |x+ 3|+ |x − 9|.](https://img.zadania.info/zad/3956358/HzadR48x.png)
Otrzymaną nierówność rozwiązujemy tak samo jak I sposobie.
Odpowiedź: dla
.