/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Miejsca geometryczne punktów

Zadanie nr 3956358

W układzie współrzędnych dane są punkty A = (− 3,− 3) , B = (9,1) i C = (8,− 6) . Wyznacz wszystkie punkty D prostej AB , które są różne od punktów A i B , i dla których suma pól trójkątów ADC i BDC jest mniejsza od 120.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


ZINFO-FIGURE


Zacznijmy od wyznaczenia równania prostej AB . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ −3 = − 3a+ b 1 = 9a + b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić b ) i mamy

 1 4 = 12a ⇒ a = 3-.

Stąd b = 3a − 3 = − 2 i prosta AB ma równanie y = 1x− 2 3 . Punkt D ma więc współrzędne postaci  ( ) D = x , 13x − 2 .

Sposób I

Trójkąty ADC i BDC mają wspólną wysokość h opuszczoną na prostą AB i jest to po prostu odległość punktu C od tej prostej. Obliczmy ją – korzystamy ze wzoru na odległość d(P ,l) punktu P = (x0,y0) od prostej l : Ax + By + C = 0 :

|Ax-0-+-By-0 +-C|- √ --2----2- . A + B

Nasza prosta ma równanie 3y − x + 6 = 0 i odległość punktu C od niej to

 √ --- h = |-−-1√8-−-8-+-6| = √2-0- = 2 10 . 9 + 1 1 0

Musi więc być spełniony warunek

 120 > PADC + PBDC / ⋅2 240 > |AD |⋅h + |BD |⋅ h √ --- √ --- 240 > 2 1 0(|AD |+ |BD |) / : 2 10 120 √ --- |AD |+ |BD | < √----= 12 10. 10

Zauważmy teraz, że

 ∘ --------------------------- ∘ --------------------- √ --- ( 1 ) 2 1 10 |AD | = (x + 3)2 + --x− 2+ 3 = (x + 3)2 + --(x+ 3)2 = -----⋅|x + 3| ∘ ------------3-------------- 9 3 ( ) 2 ∘ --------------------- √ --- |BD | = (x − 9)2 + 1-x− 2− 1 = (x − 9)2 + 1-(x− 9)2 = --10-⋅|x − 9|. 3 9 3

Pozostało więc rozwiązać nierówność

 √ --- √ --- √ --- 12 10 > --10-⋅|x + 3|+ --1-0⋅ |x − 9 | /⋅ √3--- 3 3 10 36 > |x + 3|+ |x− 9|.

Jeżeli x ≥ 9 , to mamy nierówność

36 > x + 3 + x − 9 42 > 2x ⇐ ⇒ 21 > x .

Rozwiązaniem w tym przypadku jest więc przedział [9,21) .

Jeżeli x ∈ [−3 ,9) , to mamy nierówność

36 > (x + 3) − (x − 9) 36 > 12.

Rozwiązaniem w tym przypadku jest przedział [− 3,9) .

Jeżeli wreszcie x < − 3 , to mamy nierówność

36 > − (x + 3) − (x − 9) 2x > − 30 ⇐ ⇒ x > − 1 5.

Rozwiązaniem w tym przypadku jest przedział (− 15,− 3) .
Suma wszystkich otrzymanych rozwiązań to zbiór

x ∈ (− 15 ,−3 )∪ [− 3,9)∪ [9,21 ) = (− 15,21).

Na koniec musimy jeszcze z tego zbioru wyrzucić x = − 3 i x = 9 , bo dla tych wartości otrzymujemy punkty A i B odpowiednio.

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA ,yA ) , B = (xB,yB ) i C = (xC ,yC) .

P = 1-|(x − x )(y − y ) − (y − y )(x − x )|. ABC 2 B A C A B A C A

W naszej sytuacji

 | ( ) | P = 1-||(x+ 3)(− 6+ 3)− 1x − 2 + 3 (8 + 3)|| = ADC 2 | 3 | || || = 1-|− 3(x+ 3)− 11(x + 3 )|= 10-⋅|x+ 3| 2 | 3 | 3

i

 | ( ) | 1-|| 1- || PBDC = 2 |(x− 9)(− 6− 1)− 3 x − 2− 1 (8 − 9)| = || || = 1-|−7 (x− 9)+ 1(x − 9)| = 10-⋅|x − 9 |. 2 | 3 | 3

Pozostało teraz rozwiązać nierówność

12 0 > 10-⋅|x + 3|+ 10-⋅|x− 9| / ⋅-3- 3 3 10 3 6 > |x+ 3|+ |x − 9|.

Otrzymaną nierówność rozwiązujemy tak samo jak I sposobie.  
Odpowiedź:  ( 1 ) D = x,3x − 2 dla x ∈ (− 15 ,−3 )∪ (− 3,9) ∪ (9,21) .

Wersja PDF
spinner