/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Miejsca geometryczne punktów

Zadanie nr 5009532

Dane są dwa punkty A = (− 4,2) i B = (1 ,4 ) oraz prosta k : x + 4y + 12 = 0 . Wyznacz współrzędne punktu C leżącego na prostej k i tak samo odległego od punktów A i B .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Sposób I

Szukamy punktu C = (x,y) = (− 4y − 12 ,y) tak, aby spełniona była równość AC = BC . Od razu porównujemy kwadraty odległości (żeby nie mieć pierwiastków).

AC 2 = BC 2 2 2 2 2 (− 4y − 12 + 4) + (y− 2) = (− 4y − 12 − 1) + (y − 4) (− 4y − 8)2 + (y− 2)2 = (− 4y − 13)2 + (y − 4)2 16y2 + 64y + 64 + y 2 − 4y + 4 = 16y2 + 104y + 169+ y2 − 8y+ 16 1 17 1 3 − 117 = 36y ⇒ y = − ---- = − ---. 36 4

Stąd x = − 4y − 1 2 = 13 − 12 = 1 i ( ) C = 1,− 143 .

Sposób II

Tym razem napiszemy równanie symetralnej odcinka AB i znajdziemy jej punkt wspólny C z daną prostą x + 4y + 12 = 0 .

Korzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

−→ →v = AB = [1 + 4,4 − 2] = [5,2],

a punkt to środek odcinka AB , czyli

( ) ( ) −-4+-1- 2-+-4- 3- 2 , 2 = − 2,3 .

W takim razie równanie symetralnej jest następujące

( ) 3 5 x + 2- + 2(y − 3) = 0 / ⋅2 10x + 15 + 4y − 12 = 0 4y + 10x + 3 = 0.

Szukamy teraz punktu wspólnego tej prostej z daną prostą x+ 4y+ 12 = 0 , czyli podstawiamy w powyższym równaniu 4y = −x − 12 .

− x − 12 + 10x + 3 = 0 9x = 9 ⇒ x = 1 .

Zatem y = 1(−x − 12) = − 13 4 4 i ( ) C = 1,− 13 4 .  
Odpowiedź: ( 13) C = 1,− 4

Wersja PDF