/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Miejsca geometryczne punktów

Zadanie nr 5988349

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz równanie zbioru środków wszystkich okręgów stycznych zewnętrznie do okręgu x2 + (y − 2)2 = 1 i stycznych do prostej y = − 2 .

Rozwiązanie

PIC

Powiedzmy, że punkt P = (s,t) ma żądane własności. Jego odległość od podanej prostej y = − 2 to oczywiście

|t− (−2 )| = |t+ 2|

(można też to wyliczyć ze wzoru na odległość punktu od prostej). Aby pozbyć się wartości bezwzględnej zauważmy, że punkt ten nie może leżeć poniżej prostej y = − 2 . Rzeczywiście, gdyby tak było, to najkrótszy odcinek łączący ten punkt z okręgiem musi przecinać tę prostą, zatem odległóść od prostej byłaby mniejsza niż odległośc od okręgu. W takim razie odległość punktu P od prostej y = − 2 jest równa

t+ 2

Odległość punktu P od danego okręgu 2 2 x + (y − 2) = 1 , to długość odcinka PO pomniejszona o promień okręgu, jest ona zatem równa

∘ ------------- s2 + (t − 2)2 − 1.

Mamy zatem

∘ ------------- s2 + (t − 2)2 − 1 = t+ 2 ∘ ------------- s2 + (t − 2)2 = t+ 3 / ()2 2 2 2 s + t − 4t+ 4 = t + 6t + 9 s2 − 10t − 5 = 0.

 
Odpowiedź: x2 − 10y − 5 = 0

Wersja PDF