/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Miejsca geometryczne punktów

Zadanie nr 8283353

Dane są prosta k o równaniu x− 3y = 0 i prosta l o równaniu 3x + y − 2 = 0 . Punkt P leży na prostej o równaniu y = x − 6 . Odległość punktu P od prostej k jest trzy razy większa niż odległość punktu P od prostej l . Oblicz współrzędne punktu P .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Jeżeli punkt P leży na prostej y = x − 6 , to ma współrzędne postaci P = (x,x − 6) . Zapiszemy teraz informację o odległościach tego punktu od prostych k i l . Skorzystamy przy tym ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax 0 + By 0 + C| ---√---2----2---. A + B

Mamy zatem równanie

d(P,k) = 3d (P,l) |x-−-3(x-−-6)| |3x-+-(x-−-6)-−-2| √ --- √ 1+-9-- = 3 ⋅ √ 9+--1- /⋅ 10 | − 2x + 18| = 3 |4x − 8 | / : 2 |− x + 9| = 3 |2x − 4 |.

Otrzymane równanie rozwiążemy na dwa sposoby.

Sposób I

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej.

| − x + 9| = 3|2x − 4| −x + 9 = 6x − 1 2 lub − (−x + 9) = 6x− 12 21 = 7x lub 3 = 5x x = 3 lub x = 3-. 5

Stąd odpowiednio

y = x − 6 = − 3 lub y = x − 6 = 3-− 6 = − 2-7 5 5

i P = (3,− 3) lub (3 27-) P = 5 ,− 5 .

Sposób II

Podnosimy otrzymane równanie stronami do kwadratu – w ten sposób pozbędziemy się wartości bezwzględnych.

2 | − x + 9| = 3|2x − 4| / () (x − 9 )2 = 9(2x − 4)2 2 2 x − 1 8x+ 81 = 36x − 144x + 144 0 = 35x2 − 126x + 63 / : 7 0 = 5x2 − 18x + 9.

Pozostało rozwiązać otrzymane równanie kwadratowe

2 Δ = 324 − 180 = 144 = 12 18−--12- 6-- 3- 1-8+--12 x = 10 = 10 = 5 lub x = 10 = 3.

Stąd odpowiednio

y = x − 6 = 3-− 6 = − 27- lub y = x − 6 = 3− 6 = − 3 5 5

i ( ) P = 35,− 275 lub P = (3,− 3) .  
Odpowiedź: P = (3,− 3) lub ( ) P = 3 ,− 27 5 5

Wersja PDF