/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Miejsca geometryczne punktów

Zadanie nr 8344780

Dane są punkty A = (− 1,− 2) i B = (4,8 ) . Wyznacz te punkty prostej AB , dla których różnica odległości od punktu A i odległości od punktu B jest większa niż odległość od punktu (0,0) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Prosta AB to oczywiście prosta y = 2x , więc punkty tej prostej mają współrzędne postaci P = (x ,2x ) . Musimy zatem rozwiązać nierówność

|AP |− |BP | > |OP | ∘ --------------------- ∘ --------------------- ∘ --------- (x + 1 )2 + (2x + 2)2 − (x− 4)2 + (2x − 8)2 > x 2 + 4x 2 ∘ ---------- ∘ ---------- √ ---- √ -- 5 (x+ 1)2 − 5(x − 4)2 > 5x 2 / : 5 |x + 1|− |x − 4| > |x|.

Mamy teraz do rozpatrzenia 4 przypadki.

Jeżeli x ≥ 4 to mamy nierówność

x + 1 − x + 4 > x 5 > x .

Zatem w tym przypadku x ∈ ⟨4,5) .

Jeżeli x ∈ ⟨0,4) to mamy nierówność

x + 1 + (x − 4) > x x > 3

Zatem w tym przypadku x ∈ (3,4) .

Jeżeli x ∈ ⟨− 1,0) to mamy nierówność

x + 1 + (x − 4) > −x 3x > 3 x > 1.

Zatem w tym przypadku nierówność jest sprzeczna.

Jeżeli wreszcie x < − 1 to mamy nierówność

− (x+ 1)+ (x− 4) > −x x > 5.

Zatem w tym przypadku nierówność też jest sprzeczna.

Podsumowując otrzymane nierówności mamy x ∈ (3 ,5) , czyli warunki zadania spełniają punkty postaci

{(x,2x )|x ∈ (3,5)}.

 
Odpowiedź: {(x,2x )|x ∈ (3 ,5 )}

Wersja PDF