Zadanie nr 3835630
Rozwiąż nierówność
![6 5 4 3 x + 2x − 3x − 8x + 8x + 4 ≤ 0.](https://img.zadania.info/zad/3835630/HzadT0x.gif)
Rozwiązanie
Musimy rozłożyć wielomian z lewej strony nierówności. Aby to zrobić szukamy jego pierwiastków wymiernych – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków jest . Dzielimy więc wielomian przez
– my zrobimy to grupując wyrazy
![x6 + 2x5 − 3x4 − 8x 3 + 8x + 4 = = (x6 + x5) + (x5 + x4) − (4x4 + 4x 3) − (4x 3 + 4x 2)+ (4x 2 + 4x)+ (4x + 4) = 5 4 3 2 = (x + 1)(x + x − 4x − 4x + 4x + 4).](https://img.zadania.info/zad/3835630/HzadR2x.gif)
Gołym okiem widać teraz, że wielomian w drugim nawiasie dzieli się przez , wykonujemy to dzielenie.
![(x+ 1)(x5 + x4 − 4x3 − 4x2 + 4x + 4) = (x+ 1)(x4(x + 1)− 4x2(x + 1) + 4(x + 1)) = = (x + 1 )2(x4 − 4x2 + 4).](https://img.zadania.info/zad/3835630/HzadR4x.gif)
Teraz łatwo zauważyć, że wielomian w drugim z nawiasów to pełen kwadrat.
![[ √ -- √ --]2 (x+ 1)2(x4− 4x 2+ 4) = (x+ 1 )2(x 2− 2)2 = (x + 1)2 (x − 2)(x + 2) .](https://img.zadania.info/zad/3835630/HzadR5x.gif)
Dana nierówność jest więc równoważna nierówności
![√ -- √ -- (x + 1 )2(x − 2)2(x+ 2)2 ≤ 0.](https://img.zadania.info/zad/3835630/HzadR6x.gif)
Jej rozwiązaniem jest więc zbiór .
Odpowiedź: