/Szkoła średnia/Nierówności/Wielomianowe/Rozwiąż nierówność

Zadanie nr 8277966

Rozwiąż nierówność: 3 2 2 2(x + 2) (x − 3) < (x − 4 )(x + 2) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że po obu stronach występuje czynnik 2 (x+ 2) . Jeżeli x = − 2 , to obie strony nierówności są zerem i nierówność nie jest spełniona, a jeżeli x ⁄= − 2 , to wyrażenie (x+ 2)2 jest dodatnie i możemy przez nie podzielić obie strony nierówności

2(x + 2 )3(x − 3 ) < (x2 − 4)(x + 2)2 / : (x+ 2)2 2 2(x + 2 )(x − 3) < (x − 4).

Dalszą część rozwiązania przeprowadzimy na dwa sposoby.

Sposób I

Liczymy

2 2(x + 2)(x − 3) < (x − 4 ) 2(x2 + 2x − 3x − 6) < x2 − 4 x2 − 2x − 8 < 0 Δ = 4+ 3 2 = 36 2-−-6- 2+-6-- x = 2 = − 2 lub x = 2 = 4 x ∈ (− 2,4).

Zauważmy jeszcze, że liczba x = − 2 nie jest elementem tego przedziału – gdyby była musielibyśmy ją usunąć.

Sposób II

Widać, że po obu stronach nierówności powtarza się czynnik (x + 2 ) .

2(x + 2)(x − 3) < (x 2 − 4 ) = (x− 2)(x + 2) (x + 2)(2x − 6) − (x − 2)(x + 2) < 0 (x + 2)((2x − 6) − (x − 2)) < 0 (x + 2)(x − 4) < 0 x ∈ (− 2,4).

Tak jak w poprzednim sposobie, zauważamy jeszcze, że liczba x = − 2 nie znalazła się w zbiorze rozwiązań.  
Odpowiedź: x ∈ (− 2,4)

Wersja PDF