/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny

Zadanie nr 5171249

Z punktu P należącego do boku AB trójkąta równobocznego ABC poprowadzono półprostą dzielącą trójkąt na dwie figury o równych polach. Oblicz tangens kąta jaki tworzy ta półprosta z odcinkiem AP , jeśli |AP | : |PB | = m i m ⁄= 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku. Oznaczmy długość boku trójkąta przez m + 1 . Dzięki temu AP = m i PB = 1 .

PIC

Widać, że możliwe są dwie sytuacje – poprowadzona półprosta może przeciąć bok BC (dla m < 1 ) lub bok AC (dla m > 1 ). Informacja o tym, że półprosta dzieli trójkąt na dwie figury o równych polach oznacza, że pole trójkąta P BD (lub AP D ) jest równe połowie pola całego trójkąta. Zatem

2√ -- 1-⋅1 ⋅h = 1⋅ (m-+-1-)---3 2 2 √ -- 4 (m + 1)2 3 h = ------------. 4

W drugiej sytuacji mamy podobny rachunek.

√ -- 1 1 (m + 1)2 3 --⋅m ⋅h = --⋅------------ 2 2 √ -- 4 (m--+-1)2--3 h = 4m .

Długość odcinka EB (AE ) wyliczamy z trójkąta prostokątnego EBD (AED ).

h --- = tg 60∘ EB 2√ - h (m+-1)--3 (m + 1)2 EB = √---= ---√4---- = --------- 3 3 4 (m + 1)2 22 − (m + 1)2 (1− m )(3+ m ) PE = 1 − EB = 1 − --------- = --------------= ----------------. 4 4 4

Podobny rachunek mamy w drugim przypadku

h ----= tg 60∘ AE √ - h (m+-1)2--3 (m + 1)2 AE = √---= ---4√m---- = --------- 3 3 4m (m + 1)2 (2m )2 − (m + 1)2 (m − 1)(3m + 1 ) EP = m − AE = m − ---------= ------------------= -----------------. 4m 4m 4m

Możemy teraz policzyć szukany tangens.

2√ - √ -- ∘ DE (m+-14)--3 (m + 1)2 3 tg(180 − α ) = ----= (1−m-)(3+m-) = ---------------- P E -----4----- (1 − m )(3 + m ) (m + 1)2√ 3- (m + 1 )2√ 3- tgα = − tg(180 ∘ − α ) = −----------------= ----------------. (1 − m )(3+ m) (m − 1)(3+ m )

Podobnie w drugim przypadku.

(m+ 1)2√ 3 √ -- DE-- ----4m------ --(m--+-1)2--3--- tg α = EP = (m−1)(3m+1)-= (m − 1)(3m + 1 ). 4m

Na koniec uwaga, że tak naprawdę mogliśmy zajmować się tylko przypadkiem m < 1 – wzór w przypadku m > 1 można wtedy otrzymać zamieniając m na 1- m (odbijając trójkąt względem pionowej prostej).  
Odpowiedź: (m +1)2√ 3 (m-−1)(3+m-) dla m < 1 i --(m+1)2√3-- (m −1)(3m +1) dla m > 1

Wersja PDF