/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny

Zadanie nr 5375713

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie równobocznym ABC o wysokości h obrano punkt P , z którego poprowadzono odcinki prostopadłe do boków tego trójkąta. Wykaż, że suma długości tych odcinków jest równa h .

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt równoboczny.

ZINFO-FIGURE

Obliczmy teraz pole trójkąta ABC na dwa sposoby

PABC = PBCP + PCAP + PABP 1 1 1 1 --a⋅h = -a ⋅h1 + --a⋅h 2 + -a ⋅h3 2 2 2 2 ah = a(h1 + h2 + h3) h = h 1 + h 2 + h 3.

Udowodniona przez nas własność trójkąta równobocznego nosi nazwę twierdzenia Vivianiego.

Wersja PDF