/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny

Zadanie nr 9500900

Na bokach trójkąta równobocznego zbudowano dwa kwadraty w sposób pokazany na rysunku.

PIC

Wykaż, że punkty A ,E i F są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy trójkąt AEF .

PIC

Pokażemy, że ∡EAF = 90∘ . Zauważmy, że kąt ten możemy podzielić na dwa kąty EAC i CAF . Pierwszy z nich to kąt między przekątną, a bokiem w kwadracie ACED , więc ∡EAC = 45∘ . Pozostało zatem wykazać, że ∘ ∡CAF = 45 .

Zauważmy, że trójkąt ABF jest równoramienny, oraz

∘ ∘ ∘ ∡ABF = 60 + 90 = 150 .

Zatem

180 ∘ − 15 0∘ ∡FAB = ∡AF B = ------------ = 15∘ . 2

Zatem

∘ ∘ ∘ ∡CAF = ∡CAB − ∡FAB = 60 − 15 = 45 ,

co kończy uzasadnienie.

Wersja PDF