/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny

Zadanie nr 9594504

Znaleźć pole kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 4. Jakie pole ma koło opisane na tym kwadracie?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy bok wpisanego kwadratu przez a .

Sposób I

Naszkicujmy opisaną sytuację i dorysujmy wysokość CG trójkąta ABC .

PIC

Jeżeli przez h oznaczymy wysokość trójkąta równobocznego ABC , to z podobieństwa trójkątów DEC i ABC mamy

DE CH ---- = ---- AB CG a- h-−-a- 4 = h ah = 4(h− a) a(h + 4) = 4h 4h a = -----. h+ 4

Pozostało skorzystać ze znanego wzoru - 4√-3 √ -- h = 2 = 2 3 .

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- a = -√8--3---= √4---3--= -√4--3(2-−---3√)---= 8 3− 1 2. 2 3 + 4 3 + 2 ( 3+ 2)(2− 3)

Zatem pole kwadratu jest równe

√ -- 2 2 √ -- 2 √ -- √ -- P1 = (8 3 − 12 ) = 4 (2 3 − 3) = 16(1 2− 1 2 3+ 9) = 48(7 − 4 3 ).

Promień r koła opisanego na kwadracie jest równy połowie przekątnej kwadratu, więc

√ -- √ -- a 2 √ -- 2 √ -- √ -- r = ----- = (8 3 − 12) ⋅----= 4 6 − 6 2. 2 2

Pole koła jest równe

√ -- √ -- √ -- √ -- P = πr2 = π (4 6 − 6 2)2 = π(2 2)2 ⋅(2 3 − 3)2 = 2 √ -- √ -- = 8π (12 − 12 3+ 9 ) = 24π (7− 4 3).

Pole koła mogliśmy obliczyć odrobinę szybciej, korzystając z obserwacji:

( √ -) 2 2 --2- a2- P1- √ -- P2 = πr = π 2 = π ⋅ 2 = π ⋅ 2 = 2 4π(7 − 4 3).

Sposób II

Tym razem również zacznijmy od rysunku i oznaczmy długość odcinka AG przez x .

PIC

Ponieważ ∡A = 60∘ , mamy

-x--= cos6 0∘ = 1- AD 2 AD = 2x .

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa do trójkąta AGD

2 2 2 a + x = (2x ) 3x 2 = a2 √ -- x = --3a. 3

Z drugiej strony 2x + a = AB = 4 , zatem

√ -- --3- 2⋅ 3 a + a = 4 ( √ -- ) a 2---3+ 1 = 4 3 √ -- a(2 3 + 3) = 12 12 a = -√------- 2 3 + 3 √ -- 12 (2 3− 3) a = --√----------√------- (2 3√+-3 )(2 3− 3) 12 (2 3− 3) √ -- a = ------------- = 4(2 3− 3 ). 3

Pola wyliczamy jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: √ -- 48(7 − 4 3) i √ -- 24π (7 − 4 3)

Wersja PDF