/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Zmiana ilości

Zadanie nr 1042703

W chwili początkowej (t = 0) masa substancji jest równa 12 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 21% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej t ≥ 0 funkcja m (t) określa masę substancji w gramach po t pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji m (t) . Oblicz, przez ile pełnych dób masa tej substancji będzie przekraczać 3 gramy.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wiemy, że m (0) = 12 oraz

m(t + 1) = 79 % ⋅m (t) = 0,79m (t).

Mamy więc do czynienia z ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 0,79 i pierwszym wyrazie m (0) = 12 . W takim razie

 t t m (t) = (0,79) ⋅m (0) = 1 2⋅(0 ,7 9).

Ciąg ten jest oczywiście malejący – obliczmy jego kilka początkowych wyrazów.

m(0) = 12 m(1) = 12⋅ 0,79 = 9,48 m(2) = 9,48⋅ 0,79 = 7,48 92 m(3) = 7,4892 ⋅0,79 = 5 ,916468 m(4) = 5,916468 ⋅0,79 ≈ 4,674 m(5) ≈ 4,674 ⋅0,79 ≈ 3,6 92 m(6) ≈ 3,692 ⋅0,79 ≈ 2,9 17.

Widać więc, że po 5 dobach masa substancji wciąż przekracza 3 gramy, ale już w szóstej dobie spada poniżej 3 gram.  
Odpowiedź:  t m (t) = 12 ⋅(0,79) , przez 5 dób.

Wersja PDF
spinner