Zadanie nr 1042703
W chwili początkowej masa substancji jest równa 12 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 21% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej
funkcja
określa masę substancji w gramach po
pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji
. Oblicz, przez ile pełnych dób masa tej substancji będzie przekraczać 3 gramy.
Rozwiązanie
Wiemy, że oraz
![m(t + 1) = 79 % ⋅m (t) = 0,79m (t).](https://img.zadania.info/zad/1042703/HzadR1x.png)
Mamy więc do czynienia z ciągiem geometrycznym o ilorazie i pierwszym wyrazie
. W takim razie
![t t m (t) = (0,79) ⋅m (0) = 1 2⋅(0 ,7 9).](https://img.zadania.info/zad/1042703/HzadR4x.png)
Ciąg ten jest oczywiście malejący – obliczmy jego kilka początkowych wyrazów.
![m(0) = 12 m(1) = 12⋅ 0,79 = 9,48 m(2) = 9,48⋅ 0,79 = 7,48 92 m(3) = 7,4892 ⋅0,79 = 5 ,916468 m(4) = 5,916468 ⋅0,79 ≈ 4,674 m(5) ≈ 4,674 ⋅0,79 ≈ 3,6 92 m(6) ≈ 3,692 ⋅0,79 ≈ 2,9 17.](https://img.zadania.info/zad/1042703/HzadR5x.png)
Widać więc, że po 5 dobach masa substancji wciąż przekracza 3 gramy, ale już w szóstej dobie spada poniżej 3 gram.
Odpowiedź: , przez 5 dób.