Zadanie nr 1828886

W skarbcu królewskim było monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił 25 monet, a każdego następnego ranka dorzucał o 2 monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie ze skarbca król zabierał w południe każdego dnia 50 monet. Oblicz najmniejszą liczbę , dla której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zastanówmy się jak zmienia się liczba monet w skarbcu każdego dnia. Skarbnik dorzuca 25 + 2(n − 1 ) monet, gdzie oznacza numer kolejnego dnia, a król zabiera 50. W sumie liczba monet zmienia się więc o

2(n− 1)− 25 = 2n − 2 7.

Zatem jeżeli przez oznaczymy liczbę monet w skarbcu po południu -tego dnia (jak już król zabierze swoją dolę :)), to mamy

an = k+ (2− 27)+ (4− 27)+ ⋅⋅⋅+ (2n − 27) = = k+ 2(1+ 2+ ⋅⋅⋅+ n )− 2 7n = k + 2 ⋅ n-+-1-⋅n − 27n = 2 = k+ n2 + n− 27n = k+ n 2 − 26n.

Pytanie teraz brzmi, dla jakiej najmniejszej wartości , wyrażenie to jest dodatnie dla dowolnego n ≥ 1 . Wykresem funkcji y = n2 − 26n jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc najmniejsza wartość przyjmuje w wierzchołku