/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Zmiana ilości

Zadanie nr 3483538

Czas T półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę – po przyjęciu jednorazowej dawki. Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa m leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

( ) tT m (t) = m 0 ⋅ 1- , 2

gdzie:

  • m 0 – masa przyjętej dawki leku,

  • T – czas półtrwania leku,

  • t – czas liczony od momentu przyjęcia dawki.

W przypadku przyjęcia kilku(nastu) dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku pozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten sposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację o całkowitej aktualnej masie leku w organizmie.
Pacjent otrzymuje co 4 dni o tej samej godzinie dawkę m 0 = 10 0 mg leku L. Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy T = 4 doby.
Oblicz masę leku L w organizmie tego pacjenta tuż przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku. Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,1 mg.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli obliczamy zawartość leku w organizmie tuż przed przyjęciem 11 dawki, to znaczy, że interesuje nas zwartość leku, która pozostała po przyjęciu 10 dawek po upływie 10 dób. Musimy więc obliczyć sumę

m(1 0⋅4) + m (9 ⋅4)+ m (8 ⋅4) + ...+ m(2 ⋅4) + m (1⋅ 4) = ( ) 10⋅4 ( ) 9⋅4 ( ) 2⋅4 ( ) 4 1- 4 1- 4 1- 4 1- 4 = 100 ⋅ 2 + 100⋅ 2 + ...+ 10 0⋅ 2 + 1 00⋅ 2 = ( ) = 100 ⋅ -1-+ 1--+ ...+ 1--+ 1- . 210 29 22 2

Suma w nawiasie to suma 10 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego z pierwszym wyrazem 1 a1 = 210- i ilorazem q = 2 . Suma ta jest więc równa

q10 −-1 -1- 2-10-−-1 210 −-1 -1- S10 = a1 ⋅ q− 1 = 2 10 ⋅ 2 − 1 = 210 = 1 − 2 10 .

Pozostała dawka leku jest więc równa

( ) 100 ⋅ 1− -1- = 100 − -100- ≈ 99 ,9 mg . 210 10 24

 
Odpowiedź: 99,9 mg

Wersja PDF