/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Zmiana ilości

Zadanie nr 9253468

Czas połowicznego rozpadu pierwiastka to okres, jaki jest potrzebny, by ze 100% pierwiastka pozostało 50% tego pierwiastka. Oznacza to, że ilość pierwiastka pozostała z każdego grama pierwiastka po x okresach rozpadu połowicznego wyraża się wzorem (1)x y = 2 .

W przypadku izotopu radu 226Ra czas połowicznego rozpadu jest równy 1600 lat. Po ilu latach z 1 g 226 Ra pozostanie nie więcej niż 6,25% masy tego pierwiastka?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Z podanych informacji wynika, że po upływie 1600 lat z 1 g radu zostanie 0,5 g radu. Po kolejnych 1600 latach zostanie 0,25 g radu, po kolejnych 1600 latach zostanie 0,125 g, a po kolejnych 1600 latach 0,0 625 = 6,25 % gram radu. Łącznie potrzeba więc

4 ⋅160 0 = 6400

lat.

Sposób II

Zgodnie z podanym wzorem po x okresach połowicznego rozpadu z 1 g radu pozostanie

( )x 1- 2

gram radu. Rozwiązujemy więc nierówność.

( 1 )x -- ≤ 6,25% = 0,06 25 2 ( 1 )x 1 -- ≤ --- ( 2 ) 1(6 ) 1 x 1 4 -- ≤ -- . 2 2

Funkcja (1)x y = 2 jest malejąca, więc mamy stąd x ≥ 4 . Żądaną ilość radu otrzymamy więc po 4 ⋅1600 = 6400 latach.  
Odpowiedź: Po 6400 latach.

Wersja PDF