/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Zmiana ilości

Zadanie nr 9620075

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W chwili początkowej masa substancji jest równa 20 g. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 20% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 40 − 12 2 ⋅10 g .

Rozwiązanie

Niech m (t) oznacza masę substancji (w gramach) po t pełnych dobach. Wiemy więc, że m (0) = 20 i

m (t+ 1) = 80% ⋅ m(t) = 0 ,8m(t).

Mamy zatem do czynienia z ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 0,8 i pierwszym wyrazie m (0) = 20 . W takim razie

t t − 1 t m (t) = (0,8) ⋅m (0) = 20⋅(0 ,8) = 2⋅10 ⋅(8 ⋅10 ) = = 2 ⋅10⋅ 23t ⋅10−t = 2 3t+ 1 ⋅101−t.

Wystarczy teraz rozwiązać nierówność.

m (t) < 240 ⋅10 −12 3t+ 1 1−t 40 −12 − 40 12 2 ⋅10 < 2 ⋅10 / ⋅2 ⋅10 23t+ 1−40 ⋅(2 ⋅5)1−t+ 12 < 1 3t− 39+13−t 13−t 2 ⋅5 < 1 2 2t−26 --t−13 < 1 ( 5) 4 t− 13 -- < 1. 5

Ponieważ 4 5 < 1 nierówność ta jest równoważna nierówności

t− 13 > 0 ⇐ ⇒ t > 1 3.

To oznacza, że masa substancji będzie pierwszy raz mniejsza od zadanej wartości po 14 pełnych dobach.  
Odpowiedź: Po 14 dobach.

Wersja PDF