Zadanie nr 2464063

Oblicz liczbę przekątnych wielokąta wypukłego o bokach.

Rozwiązanie

Możemy zacząć od rysunku.

Sposób I

Z każdego wierzchołka wychodzi n− 3 przekątnych (odejmujemy 3 wierzchołki: ten, na który patrzymy i dwa sąsiednie). W sumie mamy więc n (n − 3) przekątnych. To jednak jest źle, bo każdą przekątną policzyliśmy dwukrotnie (w obu końcach). Zatem liczba przekątnych wynosi n(n−3) --2--- .

Sposób II

Wszystkich par wierzchołków jest

( ) n n (n− 1) = ---------. 2 2

Tyle samo jest odcinków między dwoma wierzchołkami –kąta. Nie każdy odcinek jest jednak przekątną. Jakie nie są? – dokładnie boki. Boków mamy , zatem przekątnych jest

n(n-−-1)- n2-−-n-−-2n- n-(n−--3) 2 − n = 2 = 2 .

Sposób III

Zadanie można też rozwiązać indukcyjnie.

Trójkąt ma 0 przekątnych, a czworokąt 2.

Zastanówmy się ile tworzy się nowych przekątnych, gdy przechodzimy od n − 1 –kąta do –kąta. Nowe przekątne to te wychodzące z dołożonego wierzchołka. Jest ich dokładnie n − 3 (odrzucamy dwa sąsiednie wierzchołki). Ale to nie wszystko, bo jeszcze odcinek łączący wierzchołki sąsiednie do dołożonego wierzchołka przestaje być bokiem, z zaczyna być przekątną. W sumie jest więc n − 2 nowych przekątnych. Zatem całkowita liczba przekątnych –kąta jest równa