/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Wielokąty

Zadanie nr 5522347

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Liczba przekątnych n –kąta foremnego jest o 73 mniejsza niż liczba przekątnych (n + 2) –kąta. Oblicz n .

Rozwiązanie

Naszkicujmy n –kąt.

PIC

Jeżeli nie pamiętamy gotowego wzoru na liczbę przekątnych n –kąta, to łatwo go wyprowadzić – jest

( ) n n(n-−-1)- 2 = 2

odcinków między wierzchołkami n –kąta, ale wśród nich jest n boków, więc jest

n(n − 1) n(n − 1)− 2n n(n − 3) ---------− n = -------------- = --------- 2 2 2

przekątnych.

Pozostało teraz rozwiązać równanie

n(n − 3) (n + 2)(n − 1 ) ---------= ---------------− 73 / ⋅2 2 2 n2 − 3n = n 2 + 2n − n− 2− 146 4n = 14 8 ⇒ n = 3 7.

 
Odpowiedź: n = 37

Wersja PDF