Zadanie nr 7132417

Podzielmy –kąt na trójkąty prowadząc wszystkie przekątne z jednego ustalonego wierzchołka.

Ponieważ z wierzchołka wychodzi przekątnych, więc otrzymamy trójkątów. Suma kątów tych trójkątów to dokładnie suma kątów wewnętrznych –kąta, co daje nam żądaną równość.

Możemy wielokąt podzielić na trójkąty jeszcze w inny sposób: wybierzmy dowolny punkt wewnątrz wielokąta i połączmy go odcinkami ze wszystkimi wierzchołkami. W ten sposób dostajemy trójkątów. Tym razem jednak suma kątów trójkątów jest większa od sumy kątów wielokąta o kąt (kąt wokół wybranego punktu). Zatem szukana suma to

Wprawdzie ten sposób może się wydawać bardziej skomplikowany, ale ma on olbrzymią zaletę w stosunku do poprzedniego, mianowicie można go zastosować w przypadku wielu wielokątów, które nie są wypukłe. Aby przedstawione rozumowanie działało wystarczy, aby w wielokącie istniał punkt, który można połączyć odcinkami ze wszystkimi wierzchołkami (są to tzw. wielokąty gwiaździste).

Okazuje się, że ten sam wzór jest też prawdziwy dla dowolnych wielokątów, ale dowód w tym przypadku jest znacznie trudniejszy.