/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Wielokąty

Zadanie nr 7132417

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Uzasadnij, że suma kątów wewnętrznych dowolnego n –kąta wypukłego jest równa (n − 2 )⋅180 ∘ .

Rozwiązanie

Sposób I

Podzielmy n –kąt na trójkąty prowadząc wszystkie przekątne z jednego ustalonego wierzchołka.

PIC

Ponieważ z wierzchołka wychodzi n − 3 przekątnych, więc otrzymamy n − 2 trójkątów. Suma kątów tych trójkątów to dokładnie suma kątów wewnętrznych n –kąta, co daje nam żądaną równość.

Sposób II

Możemy wielokąt podzielić na trójkąty jeszcze w inny sposób: wybierzmy dowolny punkt wewnątrz wielokąta i połączmy go odcinkami ze wszystkimi wierzchołkami. W ten sposób dostajemy n trójkątów. Tym razem jednak suma kątów trójkątów jest większa od sumy kątów wielokąta o kąt 360∘ (kąt wokół wybranego punktu). Zatem szukana suma to

n ⋅180∘ − 36 0∘ = (n − 2) ⋅180∘.

Wprawdzie ten sposób może się wydawać bardziej skomplikowany, ale ma on olbrzymią zaletę w stosunku do poprzedniego, mianowicie można go zastosować w przypadku wielu wielokątów, które nie są wypukłe. Aby przedstawione rozumowanie działało wystarczy, aby w wielokącie istniał punkt, który można połączyć odcinkami ze wszystkimi wierzchołkami (są to tzw. wielokąty gwiaździste).

PIC

Okazuje się, że ten sam wzór jest też prawdziwy dla dowolnych wielokątów, ale dowód w tym przypadku jest znacznie trudniejszy.

Wersja PDF