/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Wielokąty

Zadanie nr 9719425

Dany jest ośmiokąt foremny ABCDEF GH o boku długości 1.

PIC

Niech T będzie środkiem odcinka BG . Oblicz długość odcinka ET .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Trapezy ABGH i CBED są przystające, więc BG = BE i trójkąt BEG jest równoramienny.

PIC

Łatwo też obliczyć długość jego ramienia. Przekątne HE i AD ośmiokąta są prostopadłe do przekątnej BG , więc ich punkty przecięcia K i L z tą przekątną dzielą ją w taki sposób, że KL = HA = 1 (bo czworokąt ALKH jest prostokątem) oraz GK = LB jest bokiem kwadratu o przekątnej długości 1 (trójkąty HKG i ALB są połówkami takiego kwadratu). Zatem

√ -- KG √ 2-= 1 ⇒ KG = √1--= --2- 2 2 √ -- BE = BG = KL + 2KG = 1+ 2 .

Niech S będzie środkiem okręgu opisanego na danym ośmiokącie. Wtedy kąt środkowy GSE ma miarę

∘ 36-0- ∘ ∡GSE = 2 ⋅ 8 = 90 .

Stąd kąt wpisany GBE ma miarę

∡GBE = 1∡GSE = 4 5∘. 2

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie BET .

2 2 2 ∘ ET = BE + BT − 2BE ⋅BT cos 4√5-- 2 2 1 2 BE 2 ET = BE + -BE − 2BE ⋅ ---⋅ ---- ( 4 √ --) 2 √ -2 √ -- 2 2 5- --2- (1-+---2)2(5-−-2--2)- ET = BE 4 − 2 = 4 √ -- √ -- √ -- 2 (3+ 2 2)(5 − 2 2) 7+ 4 2 ET = ---------4-----------= ---4----.

Stąd

∘ -----√--- 7+ 4 2 ET = -----------. 2

 
Odpowiedź: √ ----√- --7+24-2

Wersja PDF