Zadanie nr 9220610

Korzystając ze wzoru

n+ 1 n 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + ⋅⋅⋅+ nxn −1 = nx----−-(n-+--1)x-+--1, (1− x)2

który jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej i dowolnej liczby x ⁄= 1 , wykaż, że

( 2⋅7 4⋅73 6⋅75 8⋅77) 9 8 lo g 5---⋅5----⋅5----⋅5---- = 8-⋅7-+--9⋅7--−-1-. 5 5⋅53⋅72 ⋅55⋅74 ⋅57⋅76 64

Rozwiązanie

Przekształćmy podane wyrażenie

( 2⋅7 4⋅73 6⋅75 8⋅77) log 5--⋅-5---⋅5----⋅5----- = log 5 2⋅7+4⋅73+ 6⋅75+8⋅77− 1− 3⋅72−5⋅74− 7⋅76 = 5 5⋅5 3⋅72 ⋅55⋅74 ⋅57⋅76 5 3 5 7 2 4 6 = 2⋅7 + 4 ⋅7 + 6 ⋅7 + 8⋅7 − 1 − 3 ⋅7 − 5 ⋅7 − 7⋅7 = ( 2 3 4 5 6 7) = − 1 − 2 ⋅7 + 3 ⋅7 − 4⋅7 + 5 ⋅7 − 6 ⋅7 + 7⋅7 − 8 ⋅7 .

No i w końcu możemy zastosować podany wzór (z x = −7 i n = 8 ).

( 2 3 4 5 6 7) − 1 − 2 ⋅7 + 3⋅ 7 − 4⋅7 + 5 ⋅7 − 6⋅ 7 + 7 ⋅7 − 8 ⋅7 = 9 8 9 8 = − 8-⋅(−-7)--−-9⋅-(−7-)-+-1-= 8-⋅7-+--9⋅-7-−-1- 8 2 64