/Szkoła średnia/Funkcje/Logarytm/Dziedzina

Zadanie nr 1342746

Wyznacz dziedzinę funkcji 3 2 f(x ) = lo gxx−+13(x − x − 8x + 12 ) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1. Mamy więc

x − 1 ------> 0 ⇐ ⇒ (x − 1 )(x + 3) > 0 ⇐ ⇒ x ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ (1,+ ∞ ) x + 3 x-−-1-⁄= 1 ⇐ ⇒ x−--1-− 1 ⁄= 0 ⇐ ⇒ -−-4--⁄= 0. x + 3 x+ 3 x + 3

Dodatkowo, wyrażenie które logarytmujemy musi być dodatnie. Aby ustalić, kiedy tak jest, rozkładamy wielomian

3 2 x − x − 8x + 1 2

na czynniki. Szukamy pierwiastków wielomianu wśród dzielników wyrazu wolnego. Łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków jest x = 2 . Dzielimy więc wielomian przez (x − 2) – my zrobimy to grupując wyrazy.

x3 − x2 − 8x + 12 = x3 − 2x2 + x2 − 2x − 6x + 12 = 2 2 = x (x − 2 )+ x (x− 2)− 6(x− 2) = (x − 2)(x + x − 6).

Rozkładamy teraz trójmian w drugim nawiasie.

2 x + x− 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25 − 1 − 5 − 1 + 5 x = ------- = − 3 lub x = ------- = 2. 2 2

Zatem

2 x + x − 6 = (x + 3)(x− 2)

i

3 2 2 x − x − 8x + 12 = (x − 2 )(x + 3).

Wyrażenie to jest dodatnie, gdy x ∈ (− 3,2)∪ (2,+ ∞ ) . W połączeniu z wcześniej otrzymanymi nierównościami oznacza to, że dziedziną funkcji f jest zbiór

(1,2)∪ (2,+ ∞ ).

 
Odpowiedź: (1,2) ∪ (2,+ ∞ )

Wersja PDF