/Szkoła średnia/Funkcje/Logarytm/Dziedzina

Zadanie nr 9634508

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których dziedziną funkcji

2 f(x) = log (mx + 4mx + m + 3)

jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Dziedziną logarytmu jest zbiór liczb dodatnich, zatem pytanie brzmi kiedy wyrażenie mx 2 + 4mx + m + 3 przyjmuje zawsze (dla dowolnego x ) wartości dodatnie.

Najpierw sprawdzamy przypadek m = 0 (gdy wyrażenie jest liniowe). Mamy wtedy

2 mx + 4mx + m + 3 = 3

i jest OK.

Jeżeli m ⁄= 0 to mamy funkcję kwadratową. Żeby była zawsze dodatnia, ramiona paraboli będącej jej wykresem muszą być skierowane do góry, czyli m > 0 . Ponadto parabola musi być w całości powyżej osi Ox , czyli Δ < 0 .

0 > Δ = 16m 2 − 4m (m + 3) = 12m 2 − 12m = 12m (m − 1) m ∈ (0,1).

 
Odpowiedź: m ∈ ⟨0,1)

Wersja PDF