/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Dzielenie z resztą

Zadanie nr 7826231

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu P(x) przez trójmian 2 x − 3x − 2 8 jeśli P (7) = 24 i P (− 4) = − 31 .

Rozwiązanie

Rozłóżmy trójmian 2 x − 3x − 28 na czynniki.

2 x − 3x − 28 = 0 Δ = 9+ 112 = 12 1 = 112 x = 3−--11-= − 4 ∨ x = 3-+-11-= 7 2 2 x2 − 3x − 28 = (x+ 4)(x − 7).

Reszta R (x) z dzielenia wielomianu P(x ) przez ten trójmian będzie wielomianem liniowym (bo reszta zawsze ma stopień mniejszy od stopnia wielomianu, przez który dzielimy) takim, że

P (x) = (x + 4)(x − 7 )Q(x )+ R (x) = (x + 4)(x− 7)Q (x)+ ax + b.

Współczynniki a i b wyliczamy podstawiając w tej równości x = − 4 i x = 7 .

{ − 31 = P(− 4) = − 4a + b 24 = 7a+ b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby zredukować b ) i mamy

5 5 = 11a ⇐ ⇒ a = 5.

Zatem b = 24 − 7a = − 11 .  
Odpowiedź: 5x − 11

Wersja PDF