/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Dzielenie z resztą

Zadanie nr 8750973

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian 4 2 P (x) = x + 2x − 3 jest wielomianem R(x) = x3 − 2x2 + 2 . Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian F (x) = x 2 − 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szukana reszta jest wielomianem stopnia 1, czyli jest postaci ax + b oraz

W (x ) = (x2 − 1)Q (x) + ax + b.

Aby wyznaczyć a i b musimy znać wartości W (− 1) i W (1) (w miejscach zerowych wielomianu x 2 − 1 ). Wartości te możemy wyliczyć z podanego warunku

4 2 ′ 3 2 W (x) = (x + 2x − 3)Q (x) + x − 2x + 2 .

Liczymy

W (− 1) = 0 ⋅Q ′(− 1) − 1 − 2 + 2 = − 1 ′ W (1) = 0 ⋅Q (1) + 1 − 2 + 2 = 1 .

Możemy teraz wyznaczyć a i b .

− 1 = W (− 1) = 0⋅Q (− 1) − a + b = −a + b 1 = W (1) = 0⋅Q (1) + a + b = a + b.

Dodając te dwie równości stronami mamy b = 0 , stąd a = 1 .  
Odpowiedź: x

Wersja PDF