/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Dzielenie z resztą

Zadanie nr 8860925

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wielomian 3 2 W (x) = x + bx + cx− 4 jest podzielny przez trójmian kwadratowy x2 − x − 2 . Wyznacz współczynniki b i c wielomianu W (x) .

Rozwiązanie

Rozłóżmy podany trójmian kwadratowy na czynniki.

2 x − x − 2 = 0 Δ = 1+ 8 = 9 1− 3 1+ 3 x = -----= − 1 ∨ x = ------= 2. 2 2

Zatem 2 x − x − 2 = (x + 1)(x − 2) .

Jeżeli dany wielomian trzeciego stopnia ma się dzielić przez (x + 1)(x − 2) to musi się jednocześnie dzielić przez (x + 1) i (x − 2) , a to oznacza, że liczby -1 i 2 muszą być jego pierwiastkami. Daje to nam układ równań

{ { { 0 = − 1 + b − c − 4 b − c = 5 b− c = 5 ⇐ ⇒ ⇐ ⇒ 0 = 8 + 4b + 2c − 4 4b + 2c = − 4 2b + c = − 2

Dodając równania stronami (żeby zredukować c ) mamy 3b = 3 , czyli b = 1 . Stąd c = b − 5 = − 4 .  
Odpowiedź: (b,c) = (1,− 4)

Wersja PDF