/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworościan

Zadanie nr 1973418

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości 4, krawędzie boczne mają długości √ -- 2,4,2 7 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Problemem w tym zadaniu jest to, że nie wiadomo gdzie jest spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka D i to skutecznie utrudnia obliczenie długości tej wysokości. Zauważmy jednak, że o wiele lepiej jest z wysokością opuszczoną z wierzchołka A . Ponieważ krawędzie AB ,AC i AD mają równą długość, trójkąty prostokątne AOB ,AOC ,AOD są przystające, czyli BO = CO = DO , co oznacza, że spodek wysokości O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie BCD . W takim razie do obliczenia długości wysokości AO ostrosłupa brakuje nam długości promienia okręgu opisanego na trójkącie BCD (bo wtedy zastosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta BOA ). Długość promienia okręgu opisanego będziemy mogli wyliczyć z twierdzenia sinusów, jeżeli będziemy znali sinus jednego z kątów trójkąta BCD , np. sin α = sin ∡BCD . Znając ten sinus będzie też łatwo obliczyć pole trójkąta BCD .

Rozwiązanie sprowadziliśmy więc do obliczenia sinα – aby to zrobić korzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie BCD .

2 2 2 BD = CD + CB − 2CD ⋅CB cos α 28 = 4 + 16 − 2 ⋅2 ⋅4co sα 8 = − 16 cosα ⇒ cos α = − 1-. 2

Zatem ∘ α = 1 20 i

∘ ---------- √ -- sin α = 1 − co s2α = --3. 2

Możemy teraz obliczyć promień okręgu opisanego na trójkącie BCD .

BD -----= 2BO sin α √ -- √ --- 2--7- 2--21- BO = √ 3-= 3 .

Teraz, z trójkąta prostokątnego BOA obliczamy wysokość ostrosłupa.

∘ -------- ∘ --- √ --- ∘ ------------ 8 4 60 2 15 AO = AB 2 − BO 2 = 16 − --- = ---= -----. 9 9 3

Obliczmy jeszcze pole ściany BCD .

1 1 √ 3- √ -- PBCD = --CB ⋅CD sinα = --⋅4 ⋅2⋅ ----= 2 3. 2 2 2

Pozostało obliczyć objętość czworościanu.

√ -- √ --- √ -- V = 1⋅PBCD ⋅AO = 1-⋅2 3 ⋅ 2--15 = 4---5. 3 3 3 3

 
Odpowiedź: √ - V = 4-35

Wersja PDF