/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworościan

Zadanie nr 2330667

Na środkowej AD podstawy ABC ostrosłupa trójkątnego ABCS wybrano punkty E i F w ten sposób, że |AE | = |EF| = |FD | . Przez punkty E i F poprowadzono płaszczyzny równoległe do ściany SBC . Oblicz stosunek pól otrzymanych w ten sposób przekrojów ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Sposób I

Przy oznaczeniach z rysunku, czworościany AB 1C 1S1 i AB 2C 2S2 są podobne w skali

k = AF--= 2. AE

W takim razie

PB1C1S1 = k2PB2C2S2 = 4PB2C2S2.

Sposób II

Jeżeli oznaczymy przez h wysokość trójkąta SBC opuszczoną na krawędź BC oraz BC = a , to

B C = 2BC = 2a 1 1 3 3 1 1 B 2C2 = -BC = -a. 3 3

Podobnie wysokości h 1 i h2 trójkątów S1B 1C1 i S2B 2C2 opuszczone na podstawy B1C 1 i B2C 2 spełniają

2 h1 = --h 3 h = 1-h. 2 3

W takim razie

2 2 PB-1C1S1 2PB1C1S1 -3a⋅-3h PB C S = 2PB C S = 1a⋅ 1h = 4. 22 2 2 2 2 3 3

 
Odpowiedź: 4 : 1

Wersja PDF