/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworościan

Zadanie nr 2399323

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 6. Wierzchołki A ,B i D podstawy ABCD sześcianu połączono odcinkami z punktem W , który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy EF GH . Otrzymano w ten sposób ostrosłup trójkątny ABDW .

PIC

Oblicz cosinus kąta ostrego jaki tworzą krawędzie AW i DW ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość ostrosłupa.

PIC

Patrzymy na trójkąt prostokątny ASW .

√ -- √ -- AS = 1-AC = 1⋅ 6 2 = 3 2 2∘ ------2----- √ -------- √ --- √ -- DW = AW = AS 2 + SW 2 = 18 + 36 = 54 = 3 6 .

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie AW D .

AD 2 = AW 2 + DW 2 − 2⋅AW ⋅DW ⋅ cosα = 2AW 2 − 2AW 2cos α 3 6 = 108 − 108 cos α ⇒ co sα = 72--= 2- 108 3

 
Odpowiedź: 2 3

Wersja PDF