Zadanie nr 2891733
W czworościanie krawędź
ma długość 2, a wszystkie pozostałe krawędzie mają długość 4.
- Oblicz odległość krawędzi
od krawędzi
.
- Wiedząc, że punkt
jest równoodległy od wszystkich wierzchołków czworościanu, oblicz długość odcinka
.
Rozwiązanie
Jedno z tych zadań, gdzie wszystko sprowadza się do wykonania dobrego rysunku.
- Aby znaleźć odległość krawędzi
i
musimy znaleźć odcinek, który jest prostopadły do każdej z nich. Na naszym rysunku będzie to odcinek
, gdzie
jest środkiem krawędzi
. Jest on wysokością w trójkącie równoramiennym
, więc jest prostopadły do
. Ponadto płaszczyzna
jest prostopadła do
, więc jest on też prostopadły do
. Długość tego odcinka łatwo wyliczyć z trójkąta prostokątnego
.
Odpowiedź: -
Sposób I
Zauważmy, że punkt
leży w płaszczyźnie
(bo jest równoodległy od wierzchołków
i
). Leży on też na prostej
, bo jest równoodległy od
i
. Ponadto jego rzut
na płaszczyznę
musi być środkiem trójkąta równobocznego
(bo jest równoodległy od wierzchołków
), czyli
No i zadanie przestało być przestrzenne. Jak popatrzymy na trójkąt równoramienny
, to znamy długości jego boków oraz odcinka
, a mamy wyliczyć
. Możemy tę długość łatwo wyliczyć z trójkąta prostokątnego
, ale najpierw potrzebujemy znać długość
.
Z podobieństwa trójkątów
i
mamy
No i pozostało zastosować twierdzenie Pitagorasa w trójkącie
Sposób II
Tym razem obróćmy sobie dany czworościan tak, aby w podstawie był trójkąt równoramienny.
Zauważmy, że punkt
musi leżeć na płaszczyznach prostopadłych do krawędzi
i przechodzących przez ich środki. Ponieważ trójkąty
i
są równoramienne, płaszczyzny te przechodzą przez wierzchołek
oraz przecinają się wzdłuż wysokości
czworościanu. W dodatku spodek
tej wysokości jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie
(bo wspomniane płaszczyzny zawierają symetralne boków trójkąta
, można też skorzystać z tego, że
). W takim razie szukaną odległość
możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego
, o ile wyliczymy promień
okręgu opisanego na trójkącie
i wysokość
.
Promień
okręgu opisanego na
można wyliczyć na różne sposoby, my zastosujemy twierdzenie sinusów. Mamy
Teraz łatwo możemy wyliczyć wysokość
.
Teraz patrzymy na trójkąt
Odpowiedź: