Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3572803

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AB | = 10 , |BC | = |AC | = 1 3 i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S ma długość 26 3 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.


PIC


Niech SD ,SE ,SF będą wysokościami ścian bocznych, a SG niech będzie wysokością ostrosłupa. Zauważmy, że płaszczyzna SGD zawiera dwa odcinki (SD i SG ) prostopadłe do prostej AB , więc jest prostopadła do tej prostej. W szczególności odcinek DG jest prostopadły do AB . Analogicznie uzasadniamy, że odcinki GE i GF są prostopadłe odpowiednio do BC i AC .

Zauważmy ponadto, że trójkąty SGD ,SGE i SGF są przystające (bo są prostokątne i mają dwa boki tej samej długości). To oznacza, że GD = GE = GF , czyli G jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC oraz GD = GE = GF = r , gdzie r promień okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa.

Aby obliczyć r potrzebujemy obliczyć pole trójkąta ABC . Liczymy.

 ∘ --------- √ ---- CD = 13 2 − 5 2 = 144 = 12 PABC = 1-⋅10 ⋅12 = 60. 2

Obliczamy promień okręgu wpisanego.

 1 60 10 60 = PABC = -r(AB + BC + CA ) = 18r ⇒ r = ---= --. 2 18 3

Teraz możemy obliczyć długość wysokości SG ostrosłupa.

 ∘ ----------- ∘ ---- ∘ ---2------2- 676- 100- 576- √ --- SG = SD − GD = 9 − 9 = 9 = 64 = 8.

Liczymy objętość ostrosłupa.

 1 1 V = 3-⋅PABC ⋅ SG = 3-⋅60 ⋅8 = 16 0.

 
Odpowiedź: 160

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!