/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworościan

Zadanie nr 3724954

W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a . Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka A od ściany BCS jest równa d . Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Zadanie oczywiście sprowadza się do obliczenia wysokości ostrosłupa, czyli długości krawędzi AS . Niech E będzie rzutem punktu A na płaszczyznę BCS . Ponieważ AB = AC , punkt E leży na wysokości SD trójkąta równoramiennego BCS . Długość krawędzi AS możemy obliczyć licząc pole trójkąta prostokątnego ADS na dwa sposoby (lub, jeżeli ktoś woli, korzystając z podobieństwa trójkątów ADE i SDA ).

AD ⋅ AS =∘ 2PADS--=-DS ⋅AE 2 2 2 h ⋅AS = h + AS ⋅d /() h 2 ⋅AS 2 = h 2d2 + AS 2 ⋅d2 (h2 − d2)AS 2 = h2d2 ⇒ AS = √--hd----. h2 − d2

Podstawmy teraz √- h = a23- .

√ - √ -- a-23⋅d ad 3 AS = ∘----2-----= √---2-----2-. 3a4-− d 2 3a − 4d

Objętość ostrosłupa jest więc równa

√ -- √ -- 1 a2 3 ad 3 a3d V = --⋅------⋅ √---2-----2-= -√---2-----2. 3 4 3a − 4d 4 3a − 4d

 
Odpowiedź: 3 4√-3aa2d−-4d2-

Wersja PDF